Varyans ve standart sapma için en uygun çözümler nelerdir?

Belirli bir rastgele değişken (veya bir popülasyon veya stokastik bir süreç) için, matematiksel beklenti bir sorunun cevabıdır Hangi nokta tahmini beklenen kare kaybını en aza indirir? . Ayrıca, bir oyun için en uygun çözüm Rastgele bir değişkenin (veya bir popülasyondan yeni bir çekilişin) bir sonraki gerçekleşmesini tahmin edin ve eğer terimler arasında doğrusal bir hoşnutsuzluğunuz varsa , değer ve tahmininiz arasındaki kare mesafeyle sizi cezalandıracağım cezası. Medyan, mutlak kayıp altında karşılık gelen bir sorunun cevabıdır ve mod, "ya hep ya hiç" kaybının cevabıdır.

Sorular: Varyans ve standart sapma benzer sorulara cevap veriyor mu? Onlar neler?

Bu sorunun motivasyonu, merkezi eğilim ve yayılmanın temel ölçümlerini öğretmekten kaynaklanmaktadır. Merkezi eğilim ölçütleri yukarıdaki karar teorik sorunları ile motive edilebilirken, bir kişinin yayılma ölçülerini nasıl motive edebileceğini merak ediyorum.

— Richard Hardy
kaynak

Çok ilginç bir soru. İlk yaklaşımım, "oyunun" nitel olarak zaten tanımladığınız şeyle aynı olması olacaktır, tek farkı, sorunun cevabın bir nokta yerine bir değer yerine bir değer aralığı hakkında olmasını beklemesidir . referans oldukça anlamsız (anlamsız değilse) bilgilerdir.

— Emil

Varyansın kendisinin bir beklentisi olduğunu unutmayın - eğer

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$ sonra

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$ .

— Glen_b-Monica'yı yeniden kur

@ Glen_b, haklısın ve bunu anladım (bunu soru metnine eklemeliydim). "Sanırım bir sonraki değer ve beklenti arasındaki fark ve ben sizi karesel olarak cezalandıracağım" oyun olurdu. En iyisi bu mu? Çok pratik ya da çok eğlenceli bir oyun gibi görünmüyor, IMHO.

— Richard Hardy

Soruyu amaçlandığı gibi anladıysam, herhangi bir rastgele değişkenin bağımsız gerçekleşmelerini sağlayabileceğiniz bir ayarınız var demektir. $X$ herhangi bir dağıtımla $F$ (sonlu varyansa sahip) $\sigma^2(F)$ ). "Oyun" fonksiyonlar tarafından belirlenir $h$ ve $\mathcal L$ tarif edilecek. Aşağıdaki adımlardan ve kurallardan oluşur:

Rakibiniz ("Doğa") $F.$
Yanıt olarak bir sayı üretiyorsunuz $t(F),$ "tahmininiz".

Oyunun sonucunu değerlendirmek için aşağıdaki hesaplamalar yapılır:

Örneği $n$ iid gözlemleri $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ -den çekildi $F.$
Önceden belirlenmiş bir işlev $h$ bir sayı üreterek numuneye uygulanır. $h(\mathbf{X}),$ "istatistik".
"Kayıp fonksiyonu" $\mathcal{L}$ "tahmininizi" karşılaştırır $t(F)$ istatistiğe $h(\mathbf{X}),$ negatif olmayan bir sayı üretmek $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
Oyunun sonucu beklenen kayıp (veya "risk")
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

Amacınız Doğa'nın hareketine, $t$ Bu riski en aza indirir.

Örneğin, fonksiyon ile oyunda $h(X_1)=X_1$ ve herhangi bir form kaybı $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ bazı pozitif sayılar için $\lambda,$ optimal hareketin $t(F)$ beklentisi olmak $F.$

Önümüzdeki soru şudur:

Var mı $\mathcal{L}$ ve $h$ bunun için en uygun hareket $t(F)$ varyans olmak $\sigma^2(F)$ ?

Bu, varyansın bir beklenti olarak gösterilmesiyle kolayca cevaplanır. Bunun bir yolu şudur:

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$ ve ikinci dereceden kayıp kullanmaya devam et

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$ Bunu gözlemledikten sonra

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

örnek bize bunun $h$ ve bu $\mathcal L$ varyans ile ilgili soruyu cevaplar.

Standart sapmaya ne dersiniz? $\sigma(F)$ ? Yine, bunu sadece örnek bir istatistiğin beklentisi olarak sergilememiz gerekir. Ancak, bu mümkün değildir, çünkü sınırladığımızda bile $F$ Bernoulli ailesine $(p)$ sadece polinom fonksiyonlarının yansız tahmin edicilerini elde edebileceğimiz dağılımlar $p,$ fakat $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ alan adında bir polinom işlevi değildir $p\in (0,1).$ (Bkz . Binom dağılımı için, aşağıdakiler için neden hiçbir tarafsız tahminci yoktur? $1/p$ ? ortalamadan sonra bu sorunun azaltılabildiği Binom dağılımları hakkındaki genel tartışma için $h$ tüm permütasyonları üzerinde $X_i.$ )

— whuber
kaynak

Sorumun açık bir şekilde ifade edilmesi ve aynı derecede açık bir cevap için teşekkür ederim. Ayrıca bir örneğiniz var mı

h

$h$ herkese bağlı

n

$n$ sadece iki değil, örnek puan?

— Richard Hardy

Gitmek için standart bir yol var

2

$2$ için

n

$n$ : tüm çiftler ve ortalama için istatistiği hesaplar. Gerçekten, bu benim stats.stackexchange.com/a/18200/919 adresindeki kovaryans karakterizasyonumu üretir . Bunun resmi teorisi için U istatistikleri hakkında bilgi edinin .

— whuber

Çok teşekkür ederim!

— Richard Hardy