Cauchy dışında bir örneğin aritmetik ortalamasının aynı dağılımı izlediği dağılımlar var mı?

$X$ bir Cauchy dağılımını takip ediyorsa $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ de tam olarak aynı dağılımı aşağıdaki $X$ ; bu konuyabakın.

Bu mülkün adı var mı?
Bunun doğru olduğu başka dağıtımlar var mı?

DÜZENLE

Bu soruyu sormanın başka bir yolu:

izin $X$ olasılık yoğunluk rastgele değişken $f(x)$ .

izin $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ , $X_i$ ve i gözlem belirtmektedir $X$ .

$Y$ kendisi, herhangi bir spesifik değeri üzerinde herhangi bir koşul olmaksızın rastgele bir değişken olarak düşünülebilir $X$ .

Eğer $X$ Cauchy dağılımını izler ve olasılık yoğunluk fonksiyonu $Y$ bir $f(x)$

$f(x)$ için $Y$ olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olmasına neden olan başka (önemsiz *) olasılık yoğunluk fonksiyonları var mı? $f(x)$

* Düşünebileceğim tek önemsiz örnek bir Dirac deltası. yani rastgele bir değişken değildir.

— Çeçen Levas
kaynak

Başlığınız çok mantıklı değil çünkü "bir numunenin beklenen değeri" bir sayıdır. Bunun yerine örneğin aritmetik ortalamasını mı kastediyorsunuz ? Soru da belirsiz: "dağıtım" ile belirli bir dağıtım mı demek istediniz - yani bir dağıtım ailesi - "Cauchy" terimi ile önerildiği gibi mi? Bu küçük bir incelik değil: cevap ne demek istediğinize bağlı olarak tamamen değişiyor. Lütfen yayınınızı netleştirmek için düzenleyin.

— whuber

@whuber, soruya olası yorumların aralığını sıkılaştıran ikinci bir bölüm ekledim.

— Chechy Levas

n

$n$

n .

$n.$

n

$n$

n

$n$

Bu gerçekten bir cevap değil, ama en azından istikrarlı bir dağıtımdan böyle bir örnek oluşturmak kolay görünmüyor. Karakteristik işlevi ortalama ile aynı olan bir rv üretmemiz gerekir.

Genel olarak, bir iid çekilişi için, ortalamanın cf değeri

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
kaynak

Analizinize dayanarak, Cauchy'nin a = 1 için tek çözüm olduğunu söylemek doğru olur mu?

— Chechy Levas

Bu sonuçlardan benim izlenimim, ama buralarda istikrarlı dağılımlar hakkında daha bilgili insanlar olduğundan eminim.

— Christoph Hanck

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$