Ortalamanın (veya başka bir anın) olmadığı negatif olmayan ayrık dağılım örneği?

20

Scipy'de biraz iş yapıyordum ve negatif scipy grubunun bir üyesi olan bir konuşma, negatif olmayan ayrık rastgele bir değişkenin tanımlanmamış bir anı olup olmadığı ortaya çıktı. Doğru olduğunu düşünüyorum ama kullanışlı bir kanıtı yok. Herkes bu iddiayı gösterebilir / kanıtlayabilir mi? (veya bu hak talebinin doğru olmaması durumunda)

Ayrık rasgele değişken üzerinde destek varsa kullanışlı bir ancak Cauchy dağıtımının bazı ayrık sürümünün tanımlanmamış bir an elde etmek için örnek olması gerektiği anlaşılıyor. Olumsuzluk şartı (belki de dahil ), sorunu zorlaştıran şeydir (en azından benim için). $\mathbb{Z}$ $0$

mathematical-statistics expected-value

— Lucas Roberts
kaynak

15

CDF tamsayılarında her yerde parçalı sabitte değerine ve tüm kriterlere tabi olarak bir CDF olsun. Beklenti $F$ $1-1/n$ $n=1,2,\ldots,$

\int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

hangi ayrılıyor. Bu anlamda ilk an (ve dolayısıyla tüm yüksek anlar) sonsuzdur. (Daha fazla ayrıntı için sondaki açıklamalara bakın.)

Bu gösterimden rahatsızsanız, $n=1,2,3,\ldots,$

{Pr}_{F} (n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1.}

${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$

Bu, her terim pozitif ve olduğundan bir olasılık dağılımı tanımlar

\sum_{n = 1}^{\infty} {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n + 1} = 1.

$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$

Beklenti

\sum_{n = 1}^{\infty} n {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} n (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1} = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

hangi ayrılıyor.

Cevabı bu şekilde ifade etmek, tüm çözümlerin bu tür ıraksak serilerle elde edildiğini açıkça ortaya koymaktadır. Eğer dağıtım isterseniz Nitekim, pozitif değerlerin bazı alt kümesine desteklenmesi olasılıkları ile serisini farklılaşmaya beklenti daha sonra, birliğe toplanmasıyla yani onu $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$ $p_1, p_2, \ldots$

(a_{n}) = (x_{n} p_{n}),

$(a_n) = (x_n p_n),$

ıraksak kısmi toplamlara sahip olmalıdır.

Tersine, negatif olmayan sayıların her ıraksak serisi , ıraksak beklentisi olan birçok ayrık pozitif dağılım ile ilişkilidir. $(a_n)$ Örneğin, verilen Eğer dizileri belirlemek için aşağıdaki algoritmayı geçerli olabilir ve . için ve ayarlayarak başlayın bu şekilde ortaya çıkan tüm kümesi olarak tanımlayın , öğelerini ve bir olasılık dağılımı tanımlayın tarafından $(a_n)$ $(x_n)$ $(p_n)$ $q_n = 2^{-n}$ $y_n = 2^n a_n$ $n=1, 2, \ldots.$ $\Omega$ $y_n$ $\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$ $\Omega$

Pr (ω_{i}) = \sum_{n ∣ y_{n} = ω_{i}} q_{n} .

$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$

Bu işe çünkü toplamı olan toplamına eşittir ve en fazla sayılabilir pozitif öğeye sahiptir. $p_n$ $q_n,$ $1,$ $\Omega$

Örnek olarak, serisi açıkça ayrışır. Algoritma $(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

y_{1} = 2 a_{1} = 2; y_{2} = 2^{2} a_{2} = 2; y_{3} = 2^{3} a_{3} = 8; \dots

$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$

Böylece

Ω = {2, 8, 32, 128, \dots, 2^{2 n + 1}, \dots}

$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$

bir tek pozitif güçlerin dizi ve $2$

p_{1} = q_{1} + q_{2} = 3 / 4; p_{2} = q_{3} + q_{4} = 3 / 16; p_{3} = q_{5} + q_{6} = 3 / 64; \dots

$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$

Sonsuz ve var olmayan anlar hakkında

Tüm değerler pozitif olduğunda, "tanımlanmamış" bir an diye bir şey yoktur: anların hepsi vardır, ancak bu cevabın başlangıcında gösterildiği gibi farklı bir toplam (veya integral) anlamında sonsuz olabilirler.

Genel olarak, tüm momentler pozitif rastgele değişkenler için tanımlanır, çünkü onları ifade eden toplam veya integral tamamen birleşir veya ayrılır ("sonsuzdur") Bunun aksine , pozitif ve negatif değerleri alan değişkenler için momentler tanımsız hale gelebilir , çünkü - Lebesgue integralinin tanımına göre - an, pozitif parçanın bir anı ile negatif parçanın mutlak değerinin bir anı arasındaki farktır. Her ikisi de sonsuzsa, yakınsama mutlak değildir ve bir sonsuzluğu sonsuzdan çıkarma sorunuyla karşı karşıya kalırsınız: bu mevcut değildir.

— whuber
kaynak

Bu argüman sınırsız bir moment veya tanımsız bir moment örneği veriyor mu? Tanımsız bir an arıyorum. Belki de cevabınızı tam olarak anlamak için kaçırdığım belirsiz anlara karşı tanımsız bir incelik vardır.

— Lucas Roberts

2

Tüm değerler pozitif olduğunda, "tanımlanmamış" bir an diye bir şey yoktur: anların hepsi vardır, fakat sonsuz olabilirler.

— whuber

4

Tüm momentler pozitif rastgele değişkenler için tanımlanmıştır. Bazıları sonsuz olabilir, hepsi bu. Momentler pozitif ve negatif değerler alan değişkenler için tanımsız hale gelebilir, çünkü - Lebesgue integralinin tanımıyla - an, pozitif parçanın bir anı ile negatif parçanın mutlak değerinin bir anı arasındaki farktır. Her ikisi de sonsuzsa, bir sonsuzluğu sonsuzdan çıkarma problemiyle karşı karşıya kalırsınız: bu mevcut değildir.

— whuber

1

"Tüm anlar pozitif rastgele değişkenler için tanımlanmıştır. Bazıları sonsuz olabilir, hepsi bu." Sorunun başlığının mevcut olmayan anları ilgilendirdiği göz önüne alındığında , bu yorumun birçoğunun cevapta düzenlenmeyi hak ettiğini düşünüyorum!

— Silverfish

1

Sanırım cevabı bu yazıda gömülü bulabilirdim: stats.stackexchange.com/questions/243150/…

— Lucas Roberts

39

İşte ünlü bir örnek: , her bir tamsayısı için olasılığı ile değerini alsın . Daha sonra , pozitif tamsayıların (bir alt kümesinin) değerlerini alır; toplam kütle , ancak beklentisi Bu rastgele değişken , St.Petersburg paradoksunda ortaya çıkar . $X$ $2^k$ $2^{-k}$ $k\ge1$ $X$ $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k} P (X = 2^{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} 1 = \infty .

$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$

X

$X$

— grand_chat
kaynak

6

+1 Tarihi ve felsefi bağlantıları için bunu beğendim.

— whuber

Paradoks çözümleme: ∞ kazanırsanız, G kuvvetleri tarafından ezilirsiniz.

— Joshua

8

Zeta dağılımı (sonlu ortalama bulunmamaktadır pozitif tamsayılar üzerinde oldukça iyi bilinen bir ayrık dağılımıdır ). $1<\theta\leq 2$

$P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

normalleştirme sabiti içeriyorsa , Riemann zeta işlevi $\zeta(\cdot)$

(değiştir: Vaka , whuber'in cevabına çok benzer) $\theta=2$

Benzer kuyruk davranışına sahip başka bir dağılım, Yule-Simon dağılımıdır.
Başka bir örnek , ile beta-negatif binom dağılımı olacaktır : $0<\alpha\leq 1$

$P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

0

Cauchy dağılımının bazı isteğe bağlı versiyonu

Çektiğiniz Evet, etrafında aralıkta Cauchy dağılımının ortalama değerini olarak , daha sonra açıkça sıfırıncı an Cauchy dağılımının aynıdır ve ilk an asimptotik ilk anı yaklaşır Cauchy dağılımı. " civarındaki aralık " ile ilgili olarak, bunu nasıl tanımladığınız önemli değildir; sunar , , , vel saire ve çalışır. Pozitif tamsayılar için . Sıfırıncı an birdir ve ilk an toplamıdır . $p(n)$ $n$ $n$ $(n-1,n]$ $[n,n+1)$ $[n-.5,n+.5)$ $p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$ $\frac6{n\pi^2}$

Ve her polinom için aslında , bazı yoktur şekilde O zaman alırsak 1'e toplamlar inci anı, sırasıdır , bu ayrılacak. $p(n)$ $c$ $\frac c {p(n)}$ $k$ $k$ $p(n)$

— Acccumulation
kaynak