Gama dağılımının logaritmasının beklenen değeri nedir?

Beklenen değeri ise olan , beklenen değeri ne ? Analitik olarak hesaplanabilir mi? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Kullandığım parametreleme şekil oranıdır.

expected-value gamma-distribution

— Stefano Vespucci
kaynak

Eğer , daha sonra mathStatica / Matematica göre, + Polygamma [a] Polygamma digamma işlevini göstermekte olup burada

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— Wolfies

Gamma değişkeninizin pdf formunu sağlamadığınızı eklemeliyim ve ortalamanın olduğunu bildirdiğiniz için (oysa benim için olurdu , görünüşe göre benden farklı bir gösterim kullanıyorsunuz, nerede? senin

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— Wolfies

Doğru, özür dilerim. Kullandığım parametreleme şekil oranıdır.

Bu parametre için bulmaya çalışacağım. Mathematica / WolframAlpha ile ilgili sorgulamada bulunabilirsiniz?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Stefano Vespucci

Ayrıca bakınız Johnson, Lotz ve Balakrishna (1994) sürekli tek değişkenli dağılımlar Vol 1 2nd Ed. sayfa 337-349.

— Björn

Ayrıca bakınız Wikipedia: Gama Dağıtımı # Logaritmik beklenti ve varyans

— Glen_b -Ricatate Monica

Yanıtlar:

Bu (belki şaşırtıcı bir şekilde) kolay temel işlemlerle yapılabilir (Richard Feynman'ın bir parametreye göre integral işareti altında en sevdiği farklılaştırma hilesi kullanılarak).

Biz varsayarsak olan $X$ bir sahiptir $\Gamma(\alpha,\beta)$ dağılımı ve biz beklentilerini bulmak istediğiniz $Y=\log(X).$ İlk olarak, $\beta$ bir ölçek parametresi olduğundan, etkisi logaritmayı ile kaydırmak olacaktır (Eğer kullanırsanız bir şekilde hız parametresi, söz konusu gibi, ki burada logaritma kayacak ) Bu izinleri bize işe dava ile $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

Bu sadeleştirme sonra olasılığı elemanı $X$ olduğu

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

burada $\Gamma(\alpha)$ normalleştirme sabiti

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

İkame $x=e^y,$ gerektirir $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ olasılığı eleman veren $Y$ ,

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

$Y$ olası değerleri artık tüm gerçek sayıları arasında $\mathbb{R}.$

Çünkü $f_Y$ birlik entegre olmalı, (trivially) elde edilmesi

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

Uyarı $f_Y(y)$ , $\alpha.$ ayırt edilebilir bir fonksiyonudur Kolay bir hesaplama

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

Bir sonraki adım, bu kimliğin her iki tarafını $\Gamma(\alpha),$ bölerek elde edilen ilişkiden yararlanır böylece beklentiyi bulmak için entegre etmemiz gereken nesneyi ortaya koyar; yani, $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R,} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R,} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R,} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} günlük Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

gama fonksiyonunun logaritmik türevi (" poligamma " olarak da bilinir ). İntegral kimlik kullanılarak hesaplanmıştır $(1).$

Faktörün Yeniden tanıtan $\beta$ gösterileri genel sonuç edilir

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

ölçek parametrelendirmesi için (yoğunluk fonksiyonunun $x/\beta$ bağlı olduğu yerlerde ) veya

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

bir hız parametrelendirmesi için (yoğunluk fonksiyonunun $x\beta$ depends bağlı olduğu yerlerde ).

— whuber
kaynak

Poligamma fonksiyonu ile hangi sıralamanın (ör. 0,1) bir digamma (@wolfies'in işaret ettiği gibi), trigamma olduğunu mu kastediyorsunuz?

— Stefano Vespucci

@Stefano Belirtildiği gibi gama logaritmik türevi anlamına gelir. Bu,

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

@Whuber'ın cevabı oldukça güzel; Cevabını temel olarak (benim görüşüme göre) istatistiksel teoriye daha iyi bağlayan ve genel tekniğin gücünü netleştiren daha genel bir biçimde yeniden ifade edeceğim.

Dağılımlarının bir aile düşünün $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$ bir consitute üstel aile bir yoğunluğa kabul anlamı,

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$ göre bazı yaygın hakim önlemlere (genellikle Lebesgue veya sayma ölçüsü).

her iki tarafını da

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$ ile ilgili olarak için

θ

$\theta$ biz gelmesiskoru denklemi

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$ burada

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ olanbir puan fonksiyonuve tanımlanmış

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ . Üstel bir ailede,

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$ burada

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$ ; buna bazenkümülatör fonksiyonu ileçok yakından ilişkiliolduğu için bazenkümülatör fonksiyondenir. Bu tarafindan aşağıdaki

(†)

$(\dagger)$ o

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$ .

Şimdi bunun ihtiyaç beklentisini hesaplamamıza yardımcı olduğunu gösteriyoruz. Biz sabit olan gama yoğunluğu yazabilir $\beta$ üstel bir aile olarak

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— insan
kaynak

+1 Bu güzel genellemeye dikkat çektiğiniz için teşekkür ederiz.

— whuber