Monty Hall Sorunu - sezgilerimiz bizi nerede başarısız ediyor?

Wikipedia'dan:

Bir oyun şovunda olduğunuzu ve üç kapının seçimini verdiğinizi varsayalım: Bir kapının arkasında bir araba; diğerlerinin arkasında keçiler var. Bir kapı seçiyorsunuz, 1 numara diyorsunuz ve kapıların arkasında ne olduğunu bilen ev sahibi, başka bir kapıyı açıyor, bir keçi olan 3 numara. Daha sonra size "2 numaralı kapıyı seçmek ister misiniz?" Dedi. Seçiminizi değiştirmek sizin lehinize mi?

Cevap elbette evet - ama inanılmaz derecede initüel. Çoğu kimsenin yanlış anlaması, kafalarımızı çizmemize ya da daha iyi duruma getirmemize yol açan olasılıklarla ilgilidir; Gelecekteki sezgimizi daha iyi yetiştirmek için bu bilmeceden hangi genel kuralı kaldırabiliriz?

Sorunun iki basit varyasyonunu düşünün:

1. Yarışmacıya kapı açılmıyor. Ev sahibi, bir kapı seçmede yardımcı olmuyor. Bu durumda, doğru kapıyı toplama ihtimalinin 1/3 olduğu açıktır.
2. Yarışmacıdan bir tahminde bulunulması istenmeden önce, ev sahibi bir kapı açar ve bir keçiyi ortaya çıkarır. Ev sahibi bir keçiyi ortaya çıkardıktan sonra yarışmacı aracı kalan iki kapıdan seçmek zorundadır. Bu durumda, doğru kapıyı toplama ihtimalinin 1/2 olduğu açıktır.

Bir yarışmacının, kapı seçiminin olasılığını bilmesi için, kendisine ne kadar olumlu sonuç alabileceğini bilmek ve bu sayıyı olası sonuçların miktarına bölmek zorundadır. Yukarıda açıklanan iki basit dava nedeniyle, seçilebilecek kapı sayısı ve mevcut sonuçları, bir aracı gizleyen kapı sayısı olarak elde edilen olası sonuçları düşünmek çok doğaldır. Bu sezgisel varsayım göz önüne alındığında, ev sahibi yarışmacının bir tahmin yaptıktan sonra keçiyi açığa çıkarmak için bir kapı açsa bile , bir araba içeren her iki kapının da olasılığı 1/2 olarak kalır.

Gerçekte, olasılık, üç kapıdan daha büyük bir dizi olası sonucu tanır ve araba ile tekil kapıdan daha büyük bir dizi pozitif sonucu tanır. Sorunun doğru analizinde, ev sahibi yarışmacıya yeni bir soru yöneltecek yeni bir bilgi verir. Sağladığım asıl tahminim, ev sahibi tarafından sağlanan yeni bilginin beni doğru şekilde bilgilendirmek için yeterli olması ihtimalidir. kapı? Bu soruyu cevaplarken, olumlu sonuçların ve olası sonuçların kümesi somut kapılar ve arabalar değil, keçi ve arabanın soyut düzenlemeleridir. Üç olası sonuç iki keçinin ve bir arabanın üç kapının ardındaki üç olası düzenlemesidir. İki olumlu sonuç, yarışmacının ilk tahmininin yanlış olduğu iki olası düzenlemedir. Bu iki düzenlemenin her birinde, konağın verdiği bilgi (kalan iki kapıdan biri boş) yarışmacının aracı gizleyen kapıyı belirlemesi için yeterlidir.

Özetle:

Seçimlerimizin fiziksel görünümleri (kapılar ve otomobiller) ile bir olasılık sorusundaki olası sonuçların ve istenen sonuçların sayısı arasında basit bir harita oluşturma eğilimindeyiz. Bu, yarışmacıya yeni bir bilgi verilmediği durumlarda işe yarar. Bununla birlikte, yarışmacıya daha fazla bilgi verilirse (örneğin, seçtiğiniz kapılardan biri kesinlikle bir araba değildir), bu haritalama kesilir ve sorulması gereken doğru sorunun daha soyut olduğu görülür.

İlk kapıyı ikinci kapıyı 98 kapıya değiştirirseniz, insanların çözümü daha sezgisel bulduklarını biliyorum. Benzer şekilde 50 kapı, vb.

Asıl soruya cevap vermek için : Sezgimiz anlatı nedeniyle başarısız oluyor. Hikayeyi televizyon senaryosuyla aynı sırayla ilişkilendirerek kafamız karışır. Önceden ne olacağını düşünürsek daha kolay olur. Sınav ustası bir keçiyi ortaya çıkarır, bu yüzden en iyi şansımız keçi ile bir kapı seçip geçmek. Hikaye , arabayı seçmemiz gereken üç ihtimalden birinde eylemimizin neden olduğu kayıplara çok fazla vurgu yapıyor .

Orijinal cevap:

Amacımız her iki keçiyi de ortadan kaldırmak . Bunu kendimize bir keçi işaretleyerek yapıyoruz. Quizmaster daha sonra arabayı veya diğer keçiyi açığa çıkarmak arasında seçim yapmak zorunda kalır. Arabayı açığa vurmak söz konusu değil, bu yüzden sınav sorumlusu bilmediğimiz bir keçiyi açığa çıkaracak ve ortadan kaldıracak. Daha sonra kalan kapıya geçiyoruz, böylece ilk tercihimizle işaretlediğimiz keçiyi ortadan kaldırıyoruz ve aracı alıyoruz.

Bu strateji sadece bir keçiyi işaretlemediğimizde, yerine arabaya işaret ettiğimizde başarısız olur. Fakat bu pek mümkün değil: iki keçi ve sadece bir araba var.

Yani arabayı kazanmak için 3'te 2 şansımız var.

Cevap, "elbette EVET!" Değil. Doğru cevap, "Bilmiyorum, daha spesifik olabilir misin?"

Doğru olduğunu düşündüğünüzün tek nedeni, Marliyn vos Savant'ın böyle söylemiş olmasıdır. Soruya ilişkin orijinal cevabı (soru ondan önce yaygın olarak bilinmesine rağmen) 9 Eylül 1990'da Parade dergisinde göründü . Bu sorunun "doğru" cevabının kapıları değiştirmek olduğunu yazdı, çünkü kapıları değiştirmek size daha fazla araba kazanma olasılığı verdi (1/3 yerine 2/3). Matematik Doktora ve diğer zeki insanlardan yanlış olduğunu söyleyen birçok yanıt aldı (birçoğunun da hatalı olmasına rağmen).

Bir oyun şovunda olduğunuzu ve üç kapı seçeneği sunduğunu varsayalım. Bir kapının ardında bir araba, diğerlerinin ardında keçi vardır. Bir kapı seçiyorsunuz, # 1 diyorsunuz ve kapıların ardında ne olduğunu bilen ev sahibi, başka bir kapı açıyor ; Size "2 numaralı kapıyı seçmek ister misiniz?" Dedi. Seçtiğiniz kapıları değiştirmek sizin avantajınıza mı? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

Bu mantık sorusunun önemli bölümünü cesaretlendirdim. Bu ifadede belirsiz olan şudur:

Monty Hall her zaman bir kapı açar mı? (Kazanan bir kapıyı seçtiğinde sadece kaybeden bir kapıyı açarsa kapıları değiştirmenin avantajı ne olurdu? Cevap : Hayır)

Monty Hall her zaman kaybeden bir kapı açar mı? (Arabanın nerede soru belirtir o bilir ve bu belirli sefer birinin arkasında bir keçi gösterdi. O rastgele bir kapı? Yani Monty Güz sorusunu açılmış ya da bazen o kapılar kazanan göstermek seçerse ne olur şansınızı ne olurdu .)

Mu Monty Hall hep bir kapıyı vermedi almak mı?

Bu mantık bulmacasının temelleri bir defadan fazla tekrarlandı ve çoğu zaman 2/3'ün "doğru" cevabını verecek kadar iyi tanımlanmadı.

Bir dükkan sahibi, size göstermek için iki yeni bebeği olduğunu söylüyor, ancak erkek, kadın veya bir çift olup olmadıklarını bilmiyor. Ona sadece bir erkek istediğini söylüyorsun, ve onlara banyo yapan adamı arar. "En az bir erkek mi?" ona soruyor. "Evet!" sizi bir gülümsemeyle bilgilendirir. Diğerinin erkek olma olasılığı nedir? - Stephen I. Geller, Pasadena, Kaliforniya

Adam "Evet" e cevap vermeden önce her iki köpeğe de baktı mı ya da rastgele bir köpek aldı ve erkek olduğunu keşfetti ve sonra "Evet" diye cevap verdi.

Bir kadının ve bir erkeğin (ilgisiz) her birinin iki çocuğu olduğunu söyleyin. Kadının çocuklarından en az birinin erkek olduğunu ve erkeğin en büyük çocuğunun erkek olduğunu biliyoruz. Kadının iki erkeğe sahip olma şansının neden erkeğin iki erkeğe sahip olma şansına eşit olmadığını açıklayabilir misiniz? Cebir öğretmenim, olasılığın adamın iki erkek çocuğu olduğundan daha büyük olduğunu ısrar ediyor, ancak şansın aynı olabileceğini düşünüyorum. Ne düşünüyorsun?

Nasıl mı biliyoruz kadınlar en az bir çocuğu vardır? Bir gün çite bakıp onlardan birini gördük mü? ( Cevap:% 50, adamla aynı )

Bu soru bizim kendi Jeff Atwood'umuzu bile tetikledi . O bu soruyu yöneltilen :

Diyelim ki, varsayımsal olarak konuşursak, iki çocuğu olduğunu söyleyen biriyle tanıştınız ve bunlardan biri kız. Bu kişinin bir oğlan ve bir kıza sahip olma ihtimali nedir?

Jeff, basit bir soru olduğunu, basit bir dille sorulduğunu ve cevabın 2/3 olmasını istiyorsanız, sorunun yanlış şekilde ifade edildiğini söyleyen bazı itirazları bir kenara bıraktığını söylemeye devam ediyor.

Daha da önemlisi , kadının niye gönüllü olduğunu bildiriyor olması. Normal insanların yaptığı gibi konuşuyorsa, bazıları biri "biri kız" derken, kaçınılmaz olarak diğeri erkek. Bunun mantıklı bir soru olduğunu varsaymak istiyorsak, bizi tetikleme niyetiyle sorunun daha net tanımlandığını sormalıyız. Kadın rastgele seçilen çocuklarından birinin cinsiyeti için gönüllü oldu mu, yoksa iki çocuğunun seti hakkında mı konuşuyor.

Sorunun yeterince açık olmadığı, ancak insanların bunu anlamadığı açık. Benzer sorular sorulduğunda, değişme ihtimalinin çok daha yüksek olduğu yerlerde, insanlar ya bunun bir numara olması gerektiğinin farkına varırlar (ve konağın nedenini sorgularlar) ya da yüz kapı meselesinde olduğu gibi değiştirmenin "doğru" cevabını alırlar . Bu, doktorların pozitif testlerden sonra belirli bir hastalığı olması olasılığını sorduklarında ( hastalığa sahip olup olmadığını ya da yanlış bir pozitif olup olmadıklarını saptamaları gerekir) sorusuna destek vermeleriyle desteklenir . Sorunun nasıl ifade edildiğine bağlı olarak doğru cevap. Bu olayın yarısını kapsayan harika bir TED Sohbeti var.

Meme kanseri testi ile ilgili olasılıkları açıkladı: test edilen kadınların% 1'i hastalığa sahip ve test% 90'lık bir yanlış pozitiflik oranı ile% 90 oranında doğru. Bütün bu bilgilerle, hastalığı olma olasılığı konusunda olumlu testler yapan bir kadına ne anlatıyorsunuz?

Yardımı olursa, işte aynı soru başka bir şekilde ifade edilmiştir:

Rutin taramaya katılan kırk yaştaki 10.000 kadından 100'ünde meme kanseri vardır. Meme kanserli her 100 kadından 90'ı pozitif mamografi alacaktır. Meme kanseri olmayan 9,900 kadından 891'i de pozitif mamografi alacaktır. Bu yaş grubundaki 10.000 kadın rutin bir taramaya tabi tutulursa, pozitif mamografisi olan kadınların yüzde kaçı meme kanseri olur?

Graham Cookson'ın söylediklerini biraz değiştiririm. Onların ilk tercihi ama değil açıdan gözden insanlar bu anlaşmaya zaman seyin konağın tercihi ve varsayım konak emin olduğunu değil araç ortaya çıkarmak için.

Aslında, bu problemi bir sınıfta tartıştığımda, varsayımlarınız hakkında net olmak için bir örnek olay incelemesini kısmen sunuyoruz. Konağın sadece bir keçiyi açığa çıkardığından emin olup olmadığını değiştirmek sizin avantajınızadır . Öte yandan, ev sahibi 2. ve 3. kapılar arasında rastgele seçildiyse ve bir keçiyi ortaya çıkarsa, o zaman anahtarlamanın bir avantajı olmaz.

(Tabii ki, pratik sonuç, ev sahibinin stratejisini bilmiyorsanız, yine de geçiş yapmanız gerektiğidir.)

Bu genel bir kural vermez, ancak bence zorlu bir bilmecenin nedeninin bir nedeni, sezgimizin koşullu olasılığı çok iyi ele almamasıdır. Aynı fenomen üzerinde oynayan pek çok başka olasılık bilmecesi var . Bloguma bağlandığımdan beri, özellikle Monty Hall'da bir yazı .

Öğrencilerin bu sorunu çok zor bulduğu konusunda hemfikirim. Aldığım tipik cevap, bir keçi gösterildikten sonra 50: 50'lik bir araba alma şansının olması, neden önemli? Öğrenciler, ilk tercihlerini şimdi yapmaları istenen karardan boşa çıkarlar, yani bu iki eylemi bağımsız olarak görürler. Onlara başlangıçta yanlış kapıyı seçme ihtimalinin iki katı olduğunu hatırlatıyorum, bu yüzden neden anahtarlamada daha iyi olduklarını.

Son yıllarda aslında cam oyun oynamaya başladım ve öğrencilerin sorunu daha iyi anlamalarına yardımcı olur. Üç karton klozet "ortaları" kullanıyorum ve ikisinde ataç ve üçünde 5 sterlinlik bir not var.

Bunun Monty Hall çözümünü şaşırtıcı kılan olasılıklı bir zorluktan çok bir mantık meselesi olduğuna inanıyorum. Sorunun aşağıdaki açıklamasını göz önünde bulundurun.

TV şovuna gitmeden önce evde karar verirsiniz, kapıları değiştirir veya ilk tercihinize bağlı kalırsanız, şov sırasında ne olursa olsun. Yani, oyunu oynamadan önce "Kalmak" veya "Geçiş" stratejileri arasında seçim yapmaktasınız. Bu strateji seçiminde belirsizlik yoktur. Henüz olasılıkları ortaya koymaya gerek yok.

İki strateji arasındaki farkları anlayalım. Yine, olasılıklar hakkında konuşmayacağız.

"Stay" stratejisi altında, yalnızca ilk tercihiniz "iyi" kapı ise, kazanırsınız. Öte yandan, "Anahtar" stratejisi altında, eğer ilk tercihiniz "kötü" bir kapıysa, kazanırsınız. Lütfen, bu iki vakayı bir dakikalığına, özellikle ikincisini, dikkatlice düşünün. Yine, olasılıklardan henüz bahsetmediğimize dikkat edin. Bu sadece bir mantık meselesi.

$1/3$$1/3$$2/3$

Not: 1990'da Prof. Dendenenberg, TV şovuna ev sahipliği yapan Monty Hall'a, bir kitapta adını, bilinen üç kapı sorununun tanımında kullanma izni isteyen bir mektup gönderdi.

Monty'nin bu mektuba verdiği cevabın bir bölümünün görüntüsü.

“Gördüğüm kadarıyla, oyuncu A Kapısını seçtikten ve C Kapısı gösterildikten sonra herhangi bir fark yaratmaz - neden B Kapısına geçmeye çalışmalı?”

Bu nedenle, Monty Hall'un (adamın kendisi) Monty Hall sorununu anlamadığı sonucuna vardık!

Cevabınızı değiştirmenin en iyisi olduğunu bulmak için şartlı olasılık veya Bayes Teoremi hakkında bir bilgiye ihtiyaç yoktur.

Öncelikle 1. Kapıyı seçtiğinizi varsayalım. O zaman 1. Kapı'nın kazanan olma olasılığı 1/3 ve 2. veya 3. Kapının kazanma olasılığı 2 / 3'tür. Eğer 2. Kapının ev sahibi tarafından kaybeden olduğu görülüyorsa, 2 veya 3 kişinin galibi olma olasılığı hala 2 / 3'tür. Fakat 2. Kapı kaybeden olduğundan, 3. Kapının kazanan olma ihtimalinin 2/3 olması gerekir.

Ders? Soruyu yeniden düzenleyin ve duruma bakmak yerine bir strateji arayın. Başındaki şeyi çevir, geriye doğru çalış ...

İnsanlar genellikle tesadüfen çalışmakta kötüdürler. Hayvanlar genellikle daha iyi ücret alırlar; A veya B'nin ortalama olarak daha yüksek bir ödeme verdiğini keşfettiklerinde ; daha iyi ortalamayla seçime sadık kalıyorlar. (hazır bir referansım yok - üzgünüm.)

İnsanların 80 / 20'lik bir dağıtım gördüklerinde yapması gereken ilk şey, seçimlerini ödeme ile eşleşecek şekilde yaymaktır: daha iyi seçimde% 80, diğerinde% 20. Bu% 68'lik bir ödeme ile sonuçlanacaktır.

Yine, insanların böyle bir strateji seçmeleri için geçerli bir senaryo var: Eğer oran zaman içinde değişirse, bir probu göndermek ve seçimi daha düşük başarı şansıyla denemek için iyi bir neden var.

Matematiksel istatistik önemli bir kısmı aslında olmadığını belirlemek için süreçlerin davranışlarını inceleyen olan rasgele ya da değil.

Sanırım devam eden birkaç şey var.

Birincisi, kurulum daha fazla bilgiyi gerektirir ve çözüm dikkate alınır. Bu bir oyun programı ve ev sahibi bize geçmek isteyip istemediğimizi soruyor.

Ev sahibinin şovun fazladan para harcamasını (makul olan) istemediğini varsayarsanız, doğru kapıya sahipseniz sizi değiştirmeye ikna etmeye çalışacağını varsayarsınız.

Bu, insanların kafasını karıştırabilecek bir soruna bakmanın sağduyulu bir yoludur, ancak asıl meselenin, yeni seçimin ilkinden (100 kapı durumunda daha açık olandan) ne kadar farklı olduğunu anlamadığını düşünüyorum.

Ben teklif edeceğiz bu büyük yazı lesswrong tarih:

Muhtemel hipotezler 1. Kapıda Araba, 2. Kapıda Araba ve 3. Kapıda Araba; Oyun başlamadan önce, üç kapıdan herhangi birinin arabayı içerme ihtimalinden daha fazla olduğuna inanmak için hiçbir neden yoktur ve bu nedenle bu hipotezlerin her birinin 1 / 3'ünde önceden olasılık vardır.

Oyun bizim kapı seçimimizle başlıyor. Bu, elbette, arabanın nerede olduğuna dair kanıt değil elbette - kapılardan birinin arkasında olduğu dışında bunun hakkında özel bir bilgimiz olmadığını varsayıyoruz. Ancak bunu yaptıktan sonra, bazı "deneysel veriler" elde etmek için "test yapma" olanağımız olacaktır: ev sahibi, keçi içerdiği garantili bir kapı açma görevini yerine getirecektir. Sonuç, Ana Bilgisayar Kapı 1'i bir üçgen şeklinde açar, sonuç Ana Bilgisayar Kapı 2'yi kare şeklinde açar, ve sonuç Ana Bilgisayar Kapı 3'ü bir beşgenle açar - böylece "Araba" gibi olasılıklara daha ince bir şekilde yaklaşırız. Kapı 1 ve Ana Bilgisayar Kapı 2’de Açılır "," Kapı 1 ve Ana Bilgisayar Kapı 3 Açılır ", vb:

İlk kapı seçimimizi yapmadan önce, konağın keçi içeren kapılardan birini açması eşit derecede muhtemeldir. Böylece, oyunun başında, "X Kapısında Araba ve Ev Sahibi Y Kapısını Aç" şeklindeki her hipotezin olasılığı, gösterildiği gibi 1/6 olasılığına sahiptir. Çok uzak çok iyi; her şey hala mükemmel şekilde doğru.

Şimdi bir kapı seçiyoruz; 2 numaralı kapıyı seçtiğimizi söyleyin. Ana bilgisayar daha sonra bir keçiyi ortaya çıkarmak için Kapı 1 veya Kapı 3'ü açar. Diyelim ki 1. Kapıyı açar; şemamız şuna benzer:

Ancak bu, otomobilin 2. ve 3. kapıların arkasında olma ihtimalinin eşit olduğunu gösteriyor!

Hatayı yakaladın mı?

İşte gidiyorsunuz, sezginiz sizi bu şekilde çözüyor.

Makalenin tamamındaki doğru çözümü inceleyin . O içerir :

• Bayes teoreminin açıklaması
• Monty Hall'a yanlış yaklaşım
• Monty Hall'a doğru yaklaşım
• Daha fazla sorun ...

Tecrübelerime göre, insanların kelimelerden matematiğe otomatik olarak sıçramamasıdır. Normalde, onu ilk sunduğumda insanlar yanlış anlıyorlar. Ancak, 52 kartlık bir desteyi ortaya çıkardım ve bir tanesini seçmelerini sağladım. Daha sonra elli kartı gösterip, değiştirmek isteyip istemediklerini sordum. Çoğu insan onu alır. 52'si olduğunda muhtemelen ellerinde yanlış kart aldıklarını sezgisel olarak biliyorlar ve elli kişinin teslim edildiğini gördüklerinde karar oldukça basit. Matematik problemlerinde zihni kapatmanın bir eğilim kadar paradoks olduğunu sanmıyorum.