Gaussian RBF çekirdeği için sonlu boyutlu bir özellik alanı olmadığını nasıl ispatlayabilirim?

Radyal temel işlevi için k ( x , y ) = exp ( - | | x - y | | 2 ) nasıl kanıtlanırsonlu boyutlu özelliği boşluk vardır, Hbazıları için böylecp:R,N→HElimizdekik(x,y)=⟨Φ(x),Φ(y)⟩?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Moore-Aronszajn teoremi simetrik pozitif tanımlı çekirdek benzersiz çekirdekli bir Hilbert uzaya ilişkili olduğunu garanti eder. (RKHS benzersiz olsa da, eşlemenin kendisinin olmadığını unutmayın.)

Bu nedenle, sorunuz Gauss çekirdeğine (veya RBF) karşılık gelen sonsuz boyutlu bir RKHS sergileyerek cevaplanabilir. Bunun ayrıntılı bir çalışmasını " Gaussian RBF çekirdeklerinin çoğaltıcı çekirdek Hilbert uzaylarının açık bir açıklaması ", Steinwart ve ark.

$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$