Eşleştirilmiş ve eşleştirilmemiş t testi

Farz edin ki 20 farem var. Fareleri bir şekilde eşleştiriyorum, böylece 10 çift elde ederim. Bu sorunun amacı için, rastgele bir eşleştirme olabilir, VEYA aynı çöpten, aynı cinsiyetten, benzer ağırlıkta fareleri eşleştirmeye çalışmak gibi mantıklı bir eşleştirme olabilir, VEYA kasten aptal bir eşleştirme olabilir fareleri olabildiğince eşit olmayan ağırlıklar ile eşleştirmeye çalışmak. Sonra her çift bir fare kontrol grubuna ve diğer fare tedavi edilecek gruba atamak için rasgele sayılar kullanın. Şimdi deneyi yapıyorum, sadece tedavi edilecek fareleri tedavi ediyorum, ama başka şekilde yapılan düzenlemelere hiç dikkat etmiyorum.

Biri sonuçları analiz etmeye geldiğinde, eşleştirilmemiş t testi veya eşleştirilmiş t testi kullanılabilir. Varsa, cevaplar ne şekilde farklı olacak? (Temel olarak tahmin edilmesi gereken herhangi bir istatistiksel parametrenin sistematik farklılıklarıyla ilgileniyorum.)

Bunu sormamın nedeni, yakın zamanda dahil olduğum bir makalenin biyolog tarafından eşleştirilmemiş bir t-testi yerine eşleştirilmiş bir t-testi kullandığı için eleştirilmesidir. Tabii ki, gerçek deneyde durum, çizdiğim durum kadar aşırı değildi ve bence, eşleştirmenin iyi nedenleri vardı. Ancak biyolog aynı fikirde değildi.

Bana öyle geliyor ki, çizdiğim durumlarda, eşleşmek uygun olmasa bile eşleştirilmiş bir test yerine eşleştirilmiş bir t-testi kullanarak istatistiksel önemi (p-değerini düşürmek) yanlış bir şekilde iyileştirmek mümkün değil. Bununla birlikte, fareler kötü bir şekilde eşleştirilirse, istatistiksel önemi daha da kötüleşebilir. Bu doğru mu?

Hem Frank'in hem de Peter'ın öne sürdüğü noktalara katılıyorum, ancak konunun kalbine ulaşan ve OP'nin dikkate alması faydalı olabilecek basit bir formül olduğunu düşünüyorum.

Let ve Y olan korelasyon bilinmeyen iki rastgele değişken olsun.$X$$Y$

Let $Z=X-Y$

varyansı nedir ?$Z$

İşte basit formül: Ne olursa Cov ( X , Y ) > 0 (yani X ve Y pozitif bir korelasyon vardır)?

Sonra $\text{Var}(Z)\lt \text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$. Bu durumda, eşleştirme, müdahale öncesi ve sonrası aynı konu ile uğraşırken olduğu gibi pozitif korelasyon nedeniyle yapılırsa, bağımsız eşleştirilmiş fark, eşleştirilmemiş vaka için aldığınız varyanstan daha düşük varyansa sahiptir. Yöntem varyansı azalttı. Test daha güçlü. Bu, döngüsel verilerle dramatik bir şekilde gösterilebilir. Washington DC'deki sıcaklığın New York'takinden daha yüksek olup olmadığını görmek istedikleri bir kitapta bir örnek gördüm. 2 yıl boyunca her iki şehirde de ortalama aylık sıcaklık aldılar. Tabii dört mevsim nedeniyle yıl boyunca büyük bir fark var. Bu varyasyon, eşleştirilmemiş bir t testinin bir farkı algılaması için çok büyük. Ancak, aynı yılın aynı ayına dayalı eşleştirme, bu mevsimsel etkiyi ve eşleştirilmiş testi, DC'deki ortalama sıcaklığın New York'a göre daha yüksek olduğunu gösterdi. X i ( A ayında NY sıcaklık) ve Y i ( A ayda DC sıcaklık) pozitif ilişkilidir çünkü mevsimler NY ve DC'de aynıdır ve şehirler genellikle aynı hava sistemlerini deneyimleyecek kadar yakındır. sıcaklığı etkiler. DC biraz daha sıcak olabilir çünkü daha güneydedir.$t$$X_i$$A$$Y_i$$A$

Kovaryans veya korelasyon ne kadar büyük olursa, varyanstaki azalma o kadar büyük olur.

Şimdi negatif olduğunu varsayalım .$\text{Cov}(X,Y)$

Sonra . Şimdi eşleştirme eşleştirmekten daha kötü olacaktır çünkü varyans aslında artmıştır!$\text{Var}(Z) \gt \text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$

ve Y ilişkisiz olduğunda muhtemelen hangi yöntemi kullandığınız önemli değildir. Peter'ın rastgele eşleşme durumu bu duruma benzer.$X$$Y$

Eşleştirmektense altta yatan veri modelini anlamak daha iyidir. Eğer kontrolsüz heterojenlik ile başa çıkmak için eşleştirme yapılırsa, eşleştirme genellikle bu değişkenlik kaynağını kısmen kontrol eder ve çoklu regresyon daha iyi olur. Bunun nedeni, sürekli değişkenler üzerinde eşleşmenin, bu tür değişkenler üzerinde tam eşleme yapamaması nedeniyle sık sık artık değişkenliğe neden olmasıdır.

İki test (eşleştirilmiş ve eşleştirilmemiş), farklı cevaplar alabilmeleri için farklı sorular sorar. Doğru eşleme neredeyse her zaman eşleştirmeden daha güçlüdür - bu gerçekten eşleştirmenin noktasıdır. Bu nedenle, eşleştirmenin doğru olduğunu söylediğiniz için, eşleştirilmiş testiniz için p değerinin eşleştirilmemiş aynı verilerden daha düşük olması muhtemeldir. Elbette her ikisini de yapabilir ve kendiniz görebilirsiniz.

Bu nedenle, ikileminizin cevabı istatistiksel değildir, önemlidir. Eşleştirmeniz doğru mu?

Rastgele eşlemeden, eşleştirilmemiş bir testten daha önemli bir sonuç elde edebilir misiniz? Bakalım:

set.seed(2910110192)
x <- rnorm(100, 10, 2)
y <- rnorm(100, 10, 2)
t.test(x, y)
t.test(x, y, paired = T)

Evet, burada fark çok küçük olmasına rağmen, eşleştirilmiş daha düşük bir p'ye sahipti. Bu kodu birkaç kez çalıştırdım. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bazen bir p daha düşük, bazen diğeri daha düşüktür, ancak her durumda fark küçüktü. Ancak, bazı durumlarda p değerlerindeki farkın büyük olabileceğinden eminim.

Eşleştirilmiş ve eşleştirilmemiş t-testleri ve ilişkili p-değerleri konusunda beni endişelendiren şeyin ne olduğunu daha iyi anlıyorum. Öğrenmek ilginç bir yolculuktu ve yol boyunca birçok sürpriz oldu. Bir sürpriz Michael'ın katkısının soruşturulmasıyla sonuçlandı. Bu pratik tavsiye açısından geri alınamaz. Dahası, neredeyse tüm istatistikçilerin inandığını düşündüğümü söylüyor ve bunu destekleyecek birkaç oyu var. Bununla birlikte, bir teori parçası olarak, kelimenin tam anlamıyla doğru değildir. Bunu, p-değerleri için formüller üzerinde çalışarak ve sonra karşı örneklere yol açmak için formülleri nasıl kullanacağını dikkatlice düşünerek keşfettim. Ben eğitimle bir matematikçiyim ve karşı örnek bir "matematikçinin karşı örneğidir". Pratik istatistiklerde karşılaşacağınız bir şey değil, orijinal sorumu sorduğumda öğrenmeye çalıştığım şey.

Karşı örneği veren R kodu:

vLength <- 10; meanDiff <-10^9; numSamples <- 3;
pv <- function(vLength,meanDiff) {
    X <- rnorm(vLength)
    Y <- X - meanDiff + rnorm(vLength,sd=0.0001)
    Paired <- t.test(X,Y,var.equal=T,paired=T)
    NotPaired <- t.test(X,Y,var.equal=T,paired=F)
    c(Paired$p.value,NotPaired$p.value,cov(X,Y))
}
ans <- replicate(numSamples,pv(vLength,meanDiff))

Aşağıdaki özelliklere dikkat edin: X ve Y, farkı çok büyük ve neredeyse sabit olan iki 10'lu tupledir. Birçok anlamlı rakama göre korelasyon 1.000'dir. Eşleştirilmemiş testin p değeri, eşleştirilmiş testin p değerinden yaklaşık 10 ^ 40 kat daha küçüktür. Yani bu, hesabını tam anlamıyla, matematikçi tarzı okumak şartıyla, Michael'ın hesabıyla çelişir. Cevabımın Michael'ın cevabı ile ilgili kısmı burada sona eriyor.

İşte Peter'ın cevabının getirdiği düşünceler. Orijinal sorumun tartışılması sırasında, bir yorumda farklı görünen p-değerlerinin iki özel dağılımının aslında aynı olduğunu tahmin ettim. Şimdi bunu ispatlayabilirim. Daha da önemlisi, ispatın bir p-değerinin temel doğasını açığa çıkarmasıdır, o kadar temeldir ki, hiçbir metin (karşılaştığım) açıklamak rahatsız etmez. Belki de tüm profesyonel istatistikçiler sırrı bilir, ama bana göre p-değerinin tanımı her zaman garip ve yapay görünüyordu. İstatistikçinin sırrını vermeden önce soruyu belirteyim.

$n>1$$n$$2(n-1)$$n-1$özgürlük derecesi. Bu iki dağılım farklıdır, bu yüzden p değerlerinin ilişkili dağılımları nasıl olabilir? Ancak çok daha fazla düşünmeden sonra, varsayımın bu bariz şekilde işten çıkarılmasının çok kolay olduğunu fark ettim.

$f:(0,\infty)\to (0,\infty)$$[0,1]$

$[0,1]$

$n-1$$[0,1]$$2(n-1)$$[0,1]$$[0,1]$

Başka bir bakış açısı öneririm. Çoğunlukla eşleştirme yapılır, önyargıyı azaltır. E maruziyetinin sürekli bir sonuç Y için bir risk faktörü olup olmadığına ilgi duyduğunuzu varsayalım. Her E + öznesi için, E- olan yaş ve cinsiyet uyumlu bir özne elde edersiniz. Şimdi, eşleştirilmiş bir t-testi veya eşleştirilmemiş bir t-testi yapabiliriz. Açıkça eşleştirmeyi hesaba katmalı ve eşleştirilmiş bir t testi yapmalıyız. Tasarımı dikkate alması daha prensiplidir. Analizde eşleşmenin dikkate alınıp alınmayacağı, sapma-varyans dengesinin bir konusudur. Analizde eşleşmenin muhasebeleştirilmesi yanlılığa karşı daha fazla koruma sağlar, ancak varyansı artırabilir. Eşleştirilmemiş bir t testi yapmak daha verimli olabilir, ancak yanlılığa karşı herhangi bir koruma sağlamaz.