Doğal bir logaritmanın beklenen değeri

22

sabitleri ile biliyorum , bu yüzden verildiğinde , çözümü kolaydır. Ayrıca, bu durumda gibi doğrusal olmayan bir fonksiyon olduğunda ve bunu çözmek için bir yaklaşım yapmam gerektiğini uygulayamayacağınızı da biliyorum. Taylor ile. Benim sorum Peki nasıl çözerim ?? Ayrıca Taylor ile yaklaşık tahmin ediyorum? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— Mat
kaynak

4

Evet bu durumda delta yöntemini uygulayabilirsiniz.

— Michael R. Chernick 29:12

5

Ayrıca Jensen Eşitsizliğine de bakmalısınız.

— kjetil b halvorsen

27

Kağıtta

YW Teh, D. Newman ve M. Welling (2006), Gizli Dirichlet Tahsisi için Çökmüş Bir Varyasyonel Bayesian Çıkarım Algoritması , NIPS 2006 , 1353-1360.

etrafında bir ikinci dereceden Taylor genişlemesi , yaklaştırmak için kullanılır : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

Bu yaklaşım, uygulamaları için oldukça iyi görünüyor.

Beklentinin doğrusallığı ile elde edilen soruyu elde etmek için bunu hafifçe değiştirmek,

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

Bununla birlikte, sol taraf veya sağ taraf, diğeriyken yok olabilir ve bu yaklaşım kullanılırken biraz özen gösterilmesi gerekebilir.

— user1149913
kaynak

3

İlginçtir ki, bu digamma fonksiyonuna bir yaklaşım elde etmek için kullanılabilir.

— olasılık olasılığı

6

Ayrıca, için tam bir ifadeye ihtiyacınız yoksa , genellikle Jensen'ın eşitsizliği tarafından verilen sınır yeterince iyi: $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
kaynak

sadece şunu eklemek istedim: eğer doğrudan bir hesaplama yapılamazsa ve değişkenine tek bir değişkene bakarsanız , jensen'in eşitsizliği herhangi bir faydalı sonuç almak için tek seçeneğinizdir. Önerilen taylor yaklaşımı gerçekten prakside işe yarayabilirken, geri kalan terimlerin silinmesini motive etmek için kullanılabilecek teorik bir gerekçe yoktur. (söylendiği gibi: sonsuz ln (1 + x) taylor dizisinin sadece yarıçap | x | <1) yarıçapında birleştiğini unutmayın.)

X

$X$

— chrrr

Bence içbükey aşağı olduğundan olmalı .

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— Derin Kuzey,

5

olasılık yoğunluğuna sahip olduğunu varsayalım . Eğer yaklaşan başlamadan önce, herhangi bir ölçülebilir fonksiyonu, unutmayın , yapabilirsiniz kanıtlamak bu ilk integral varsa, ikinci olur ve aynı değere sahip olmaları anlamındadır. $X$ $f_X$ $g$

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— Zen
kaynak

1

İkinci integral varsa. Buna gerek yok. Cauchy dağılımını alın ve .

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

— mpiktas

Beklentinin iyi tanımlanması için gerçekten ihtiyacınız olduğunu söyleyerek ikinci bir serserilik katmanı daha eklerdim .

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

— olasılık olasılığı

2

@mpiktas - Bu beklenti aslında var ama sonsuz. Daha iyi bir örnek, Cauchy dağılımı için x'tir. Bu beklenti, entegrasyonun alt ve üst sınırlarının sonsuzluğa nasıl eğilim gösterdiğine bağlıdır.

g (x) = x

$g(x)=x$

— olasılık olasılığı

2

@prob: Hayır, yok gerek ilk yorumunda bu durumun, hatta bir durumda bu soruya çok alakalı olabileceğini! ( Yine de, ikinci yorumuna +1 , bu da yorum yapmak istediğim bir şeydi.)

— Kardinal

2

@ prob: Bu yeterli , ancak ilk yorumunuzu ikincinizle karşılaştırırsanız, neden gerekli olmadığını göreceksiniz ! :-)

— kardinal 23

4

İki genel yaklaşım vardır:

dağılımını biliyorsanız, dağılımını bulabilir ve oradan beklentisini bulabilirsiniz; Alternatif olarak kullanmak mümkün olabilir bilinçsiz istatistikçinin kanunu (olduğunu, entegre şirketinden etki üzerinde ). $X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
Önerdiğiniz gibi, ilk birkaç dakikayı biliyorsanız, Taylor yaklaşımını hesaplayabilirsiniz.

— Glen_b -Reinstate Monica
kaynak