Gelman'ın 8 okul örneğinde, bireysel tahminin standart hatası neden biliniyor?

Bağlam:

Gelman'ın 8 okullu örneğinde (Bayesian Veri Analizi, 3. baskı, Ch 5.5) 8 okulda koçluğun etkisini test eden sekiz paralel deney vardır. Her deney, koçluğun etkinliği ve ilgili standart hata için bir tahmin verir.

Daha sonra yazarlar koçluk etkisinin 8 veri noktası için aşağıdaki gibi hiyerarşik bir model oluştururlar:

y_{i} \sim N (θ_{i}, s e_{i}) θ_{i} \sim N (μ, τ)

$y_i \sim N(\theta_i, se_i) \\ \theta_i \sim N(\mu, \tau)$

Soru Bu modelde, $se_i$ bilindiğini varsayarlar . Biz modele sahip düşünürseniz - Ben bu varsayımı anlamıyorum $\theta_i$ biz için aynı şeyi niye, $se_i$ ?

Rubin'in 8 okul örneğini tanıtan orijinal belgesini kontrol ettim ve orada da yazar şöyle diyor (s 382):

bir çalışmayı tahmini bir etki ve standart hatasıyla özetlediğimizde normallik ve bilinen standart hata varsayımı rutin olarak yapılır ve burada kullanımını sorgulamayacağız.

Özetlemek gerekirse, neden $se_i$ modellemiyoruz ? Neden bilindiği gibi davranıyoruz?

bayesian hierarchical-bayesian

— Heisenberg
kaynak

Sanırım bölgedeki toplam okul sayısını biliyorlar, bu yüzden SE örneklem büyüklüğünün ve tahminin bir işlevi mi?

— Örneğin

Örnek boyutu biliniyor ve düzeltildi, ancak standart hata verilerin standart sapmasına da bağlı ve bunu neden sabit olarak ele aldığımızdan emin değilim.

— Heisenberg

Sonuçlarınızı sabit standart hatalar varsayımına tamamen koşullu yapmaktan memnunsanız, bu koşulu yapmak (ve belirtmek) ile ilgili yanlış bir şey yoktur. Yine de neden? Daha önce savunulabilir bir şey yok mu? Belki de standart hatalara daha önce geniş, bilgilendirici bir bilgi verilmezse, analizin geri kalanı tamamen silinir. Bilmiyorum.

— Peter Leopold

Aynı kitabın p114'ünde: “Bilinmeyen varyansları olan bir dizi aracı tahmin etme sorunu, 11.6 ve 13.6 bölümlerinde sunulan bazı ek hesaplama yöntemlerini gerektirecektir”. Yani basitlik içindir; bölümünüzdeki denklemler kapalı formda çalışır, oysa varyansları modellerseniz, bunlar olmaz ve sonraki bölümlerden MCMC tekniklerine ihtiyacınız vardır.

Okul örneğinde, varyansların "tüm pratik amaçlar için" bilindiğini varsaymak için büyük örnek büyüklüğüne güvenirler (p119) ve bunları kullanarak tahmin etmelerini beklerim $\frac{1}{n-1} \sum (x_i - \overline{x})^2$ ve sonra bunların kesin olarak bilinen değerler olduğunu iddia edin.

— Drew N
kaynak

Görüyorum - varyansın çok kesin olarak tahmin edildiğini, başka bir deyişle, varyansın standart hatasının çok küçük olduğunu varsayıyorlar mı?

— Heisenberg

n

$n$

{\hat{σ}}^{2}

$\hat{\sigma}^2$

\sqrt{2 σ^{4} / (n - 1)}

$\sqrt{2 \sigma^4 /(n-1)}$ . Yaklaşık 30 okuldan oluşan bir payda, onlar için yeterliymiş gibi görünüyor.

— Drew N