Bu dağıtım için rasgele sayıları simüle etmenin bir yolunu bulma

Kümülatif dağıtım işlevi ile bir dağıtımdan sahte rasgele sayılar simüle R bir program yazmaya çalışıyorum:

$$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$$

burada$a,b>0, p \in (0,1)$

Ters dönüşüm örneklemeyi denedim ama tersi analitik olarak çözülebilir görünmüyor. Bu soruna bir çözüm önerebilirseniz sevinirim

Bu egzersize basit (ve ekleyebilirsem, zarif) bir çözüm var: iki hayatta kalma dağılımının bir ürünü gibi göründüğünden: dağıtımı , Bu durumda , Üstel dağılımı ve , -th Üstel dağılımının gücü .$1-F(x)$

$$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$$ $F$ $$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$$ $F_1$$\mathcal{E}(a)$$F_2$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$

İlişkili R kodu alabildiği kadar basit

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

ve ters pdf ve kabul-reddetme kararlarından kesinlikle çok daha hızlıdır:

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163 

şaşırtıcı derecede mükemmel uyum ile:

Ters dönüşümü her zaman sayısal olarak çözebilirsiniz.

Aşağıda çok basit bir ikiye arama yapıyorum. Belirli bir girdi olasılığı ( formülünüzde zaten bir bulunduğundan kullanıyorum ), ve ile . Sonra olana kadar ikiye . Son olarak, yinelemeli aralığını iki eşit parçaya böler uzunluğu daha kısa olan kadar ve orta nokta tatmin .$q$$q$$p$$x_L=0$$x_R=1$$x_R$$F(x_R)>q$$[x_L,x_R]$$\epsilon$$x_M$$F(x_M)\approx q$

ECDF senin uyan benim seçimler için yeterli iyi ve ve makul hızlı. Bunu basit ikiye ayırma yerine Newton tipi bir optimizasyon kullanarak hızlandırabilirsiniz.$F$$a$$b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

Kabul etme-reddetme yoluyla doğrudan çözümleme durumunda biraz kıvrıktır. İlk olarak, basit bir farklılaşma dağılımın İkinci olarak, üst var Üçüncüsü, ikinci terimi göz önünde bulundurarak değişkenini alın , yani, . Sonra , değişken değişiminin Jacobian'ıdır. Eğer

$$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$$ $$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$$ $$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$ $g$$\xi=x^{p+1}$$x=\xi^{1/(p+1)}$ $$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$$ $X$ şeklinde bir yoğunluğa sahiptir, burada normalleştirme sabiti, daha sonra yoğunluğu , (i), bu araçların olduğu Üstel değişkeni olarak dağıtılır ve (ii) sabit bire eşittir. Bu nedenle, , Üstel dağılımının ve Üstel -th gücünün eşit ağırlıklı karışımına eşit olur.$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$\kappa$$\Xi=X^{1/(p+1)}$ $$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$$ $\Xi$$\mathcal{E}(b/(p+1))$$\kappa$$g(x)$$\mathcal{E}(a)$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$dağılım, ağırlıkları hesaba katmak için eksik çarpma sabiti modulo : Ve bir karışım olarak simüle etmek kolaydır.$2$ $$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$$ $g$

Kabul et reddetme algoritmasının R oluşturması

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

ve bir n-numunesi için:

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

A = 1, b = 2, p = 3 için bir örnek: