Şunun alt kümelerindeki dağılımlar

Tamsayıların alt kümelerinde herhangi bir standart dağılım olup olmadığını merak ediyorum $\{1, 2, ..., J\}$. Eşdeğer olarak, bunu bir dağıtım olarak ifade edebiliriz.$J$ ikili sonuçların uzunluk vektörü, örn. $J = 5$ sonra $\{1, 3, 5\}$ vektöre karşılık gelir $(1, 0, 1, 0, 1)$.

İdeal olarak aradığım şey dağıtım $\nu_\theta (\cdot)$, sonlu boyutlu bir parametreyle dizinlenmiş bir aileden geliyor $\theta$, kütlesini iki ikili vektör gibi dağıtacaktır. $r_1$ ve $r_2$ birbirine "yakın" olmaları durumunda benzer olasılıklara sahip olacaklar, yani $r_1 = (0, 0, 1, 0, 1)$ ve $r_2 = (0, 0, 1, 1, 1)$benzer olasılıklara sahip. Gerçekten, umarım yapmak istediğim,$\theta$ öyle ki, eğer bilirsem $\nu_\theta (r_1)$ o zaman oldukça büyük $\nu_\theta (r_2)$ muhtemelen uzaktaki vektörlere göre büyük $r_1$.

Akla gelen bir strateji, metrik veya başka bir dağılım ölçüsü koymak olacaktır. $d_\theta$ üzerinde $\{0, 1\}^J$ ve sonra al $\nu_\theta (r) \propto \exp (-d_\theta (r, \mu))$, Veya benzeri. Bunun açık bir örneği$\exp\left\{-\|r - \mu\|^2 / (2 \sigma^2)\right\}$normal dağılıma benzer. Bu iyi, ama umarım standart ve Bayes analizi için uygun bir şey var; bununla normalleştirici sabiti yazamıyorum.

Zenginlikleri, esneklikleri ve hesaplanabilir izlenebilirlikleri nedeniyle Hamming mesafesine göre konum ailelerini tercih edebilirsiniz .

Gösterim ve tanımlar

Hatırlayın bir serbest sonlu boyutlu modülü esasına , Hamming uzaklığı iki vektör arasındaki ve olduğu basamak sayısı .$V$$\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_J\right)$ $\delta_H$$\mathbf{v}=v_1 \mathbf{e}_1 + \cdots + v_J\mathbf{e}_J$$\mathbf{w}=w_1 \mathbf{e}_1 + \cdots + w_J\mathbf{e}_J$$i$$v_i \ne w_i$

Herhangi bir kaynaktan verilen , Hamming uzaklığı bölümleri küreler halinde , , burada . Zemin halka olduğunda elemanları, sahiptir elemanları ve vardır elemanları. (Bu, hemen öğelerinin tam olarak yerlerde den farklı olduğunu gözlemlemenin ardından gelir - bunlardan$\mathbf{v}_0\in V$$V$$S_i(\mathbf{v}_0)$$i=0, 1, \ldots, J$$S_i(\mathbf{v}_0) = \{\mathbf{w}\in V\ |\ \delta_H(\mathbf{w}, \mathbf{v}_0) = i\}$$n$$V$$n^J$$S_i(\mathbf{v})$$\binom{J}{i}\left(n-1\right)^i$$S_i(\mathbf{v})$$\mathbf{v}$$i$$\binom{J}{i}$olasılıklar - ve bağımsız olarak, her yer için seçenekleri olduğu.)$n-1$

afin tercümesi doğal olarak yer ailelerine vermek için dağılımlarına etki eder. Özel olarak belirtilirse, herhangi bir dağılımı (ki araçlar biraz daha fazla , tüm ve ) ve herhangi bir öğesidir , o zaman da bir dağıtımdır nerede$V$$f$$V$$f:V\to [0,1]$$f(\mathbf{v})\ge 0$$\mathbf{v} \in V$$\sum_{\mathbf{v}\in V}f(\mathbf{v})=1$$\mathbf{w}$$V$$f^{(\mathbf{w})}$

tüm . Bir konum ailesi dağıtım değişmez bu eylem altında: , için tüm .$\mathbf{v}\in V$ $\Omega$$f\in \Omega$$f^{(\mathbf{v})}\in \Omega$$\mathbf{v}\in V$

İnşaat

Bu, şekillerini tek bir sabit vektörde de belirterek potansiyel olarak ilginç ve yararlı dağıtım ailelerini tanımlamamıza olanak tanır ; bu kolaylık olması için ve bu "üretici dağılımları" eylemi altında tam bir aile elde etmek için çevirmek . İstenen özelliği elde etmek yakındaki noktalarda karşılaştırılabilir değerlere sahip olmalıdır, sadece tüm üretim dağıtımlarının bu özelliğini gerektirir.$\mathbf{v}$$\mathbf{0} = (0,0,\ldots,0)$$V$$\Omega$$f$

Bunun nasıl çalıştığını görmek için, artan mesafe ile azalan tüm dağıtımların konum ailesini inşa edelim. Yalnızca Hamming mesafeleri mümkün olduğundan, negatif olmayan gerçek sayıların azalan bir sırasını düşünün = . Ayarlamak$J+1$$\mathbf{a}$$0 \ne a_0 \ge a_1 \ge \cdots \ge a_J \ge 0$

ve işlev tanımlamak ile$f_\mathbf{a}:V\to [0,1]$

Ardından, kontrol edilmesi kolay olduğu gibi, üzerinde bir dağılımdır . Bundan başka, ancak ve ancak olumlu bir katı olan (olarak vektörler ). Böylece, eğer istersek, ı standardize edebiliriz .$f_\mathbf{a}$$V$$f_\mathbf{a} = f_{\mathbf{a}'}$$\mathbf{a}'$$\mathbf{a}$$\mathbb{R}^{J+1}$$\mathbf{a}$$a_0=1$

Buna uygun olarak, bu yapı Hamming mesafe azalmaktadır bu gibi tüm yer değişmeyen dağılımlar açık bir parametrelendirmesini verir: bu tür bir dağıtım formundadır bir sekans için ve bazı vektörler .$f_\mathbf{a}^{(\mathbf{v})}$$\mathbf{a} = 1 \ge a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_J \ge 0$$\mathbf{v}\in V$

Bu parametreleştirme, önceliklerin uygun şekilde belirtilmesine izin verebilir: bunları bir ve şeklinde bir önceliğe çarpanlarına ayırın . (Tabii ki, konumun ve şeklin bağımsız olmadığı ve daha büyük olduğu bir dizi öncelik düşünülebilir, ancak bu daha karmaşık bir girişim olacaktır.)$\mathbf{v}$$\mathbf{a}$

Rastgele değerler üretme

dan örneklemenin bir yolu, onu küresel radyasyon üzerinde bir dağılıma ve her kürede koşullu başka bir dağılıma çarpanlara ayırmak suretiyle aşamalı olarak yapılmasıdır:$f_\mathbf{a}^{(\mathbf{v})}$

1. Binom olasılıkları tarafından verilen kesikli dağıtımından bir dizin çizin , burada daha önce tanımlandığı gibidir .$i$$\{0,1,\ldots,J\}$$\binom{J}{i}(n-1)^i a_i / A$$A$

2. dizini , tam olarak yerlerinde den farklı vektörler kümesine karşılık gelir . Bu nedenle, bu seçmek üzerinden yerleştirir her biri eşit olasılık veren muhtemel alt-grupları. (Bu sadece bir örnektir dışarı alt simgelerinin olmadan değiştirilmesi.) Bu alt kümesi olsun yerlere yazılacaktır .$i$$\mathbf{v}$$i$$i$$\binom{J}{i}$$i$$J$ $i$$I$

3. Bir eleman çizin bağımsız bir değer belirleyerek değil eşit skalerler kümesinden eşit tüm ve aksi takdirde set . şekilde, olduğunda sıfır olmayan rastgele seçerek ve aksi halde ayarlayarak bir vektörü oluşturun . Takım .$\mathbf{w}$$w_j$$v_j$$j\in I$$w_j=v_j$$\mathbf{u}$$u_j$$j\in I$$u_j=0$$\mathbf{w} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

Adım 3 ikili durumda gerekli değildir.

Misal

İşte açıklamak için bir Ruygulama.

rHamming <- function(N=1, a=c(1,1,1), n=2, origin) {
  # Draw N random values from the distribution f_a^v where the ground ring
  # is {0,1,...,n-1} mod n and the vector space has dimension j = length(a)-1.
  j <- length(a) - 1
  if(missing(origin)) origin <- rep(0, j)

  # Draw radii `i` from the marginal distribution of the spherical radii.
  f <- sapply(0:j, function(i) (n-1)^i * choose(j,i) * a[i+1])
  i <- sample(0:j, N, replace=TRUE, prob=f)

  # Helper function: select nonzero elements of 1:(n-1) in exactly i places.
  h <- function(i) {
    x <- c(sample(1:(n-1), i, replace=TRUE), rep(0, j-i))
    sample(x, j, replace=FALSE)
  }

  # Draw elements from the conditional distribution over the spheres
  # and translate them by the origin.
  (sapply(i, h) + origin) %% n
}

Kullanımının bir örneği olarak:

test <- rHamming(10^4, 2^(11:1), origin=rep(1,10))
hist(apply(test, 2, function(x) sum(x != 0)))

Bu, dağılımından iid öğesi çizmek için saniye sürdü ; burada , (ikili durum), ve katlanarak azalıyor.$0.2$$10^4$$f_{\mathbf{a}}^{(\mathbf{v})}$$J=10$$n=2$$\mathbf{v}=(1,1,\ldots,1)$$\mathbf{a}=(2^{11},2^{10},\ldots,2^1)$

(Bu algoritma azalmasını gerektirmez; bu nedenle, yalnızca tekil olanlardan değil , herhangi bir konum ailesinden rastgele farklılıklar üretecektir .)$\mathbf{a}$

K-determinantal nokta işleminden bir örnek, benzer öğelerin örnekte birlikte oluşma olasılığının daha düşük olması için, çeşitliliği teşvik eden alt kümeler üzerinde bir dağılım modellemektedir. Alex Kulesza, Ben Taskar'ın K-determinantal nokta süreç örneklemesi.