Çok düşük güce sahip “ezoterik” istatistik testleri var mı?

Arka fon

Bilgisayar bilimlerinde, matematikte ve bazen diğer alanlarda, “ezoterik” örnekler sadece eğlenceli olmakla kalmaz, aynı zamanda belirli kavramları açıklamakta yardımcı olur, örneğin:

Bogosort ve Slowsort , özellikle diğer sıralama algoritmalarına kıyasla algoritmaların özelliklerini anlamak için kullanılabilecek çok verimsiz sıralama algoritmalarıdır.
Ezoterik programlama dilleri , bir programlama dili kavramının ne kadar kapsamlı olduğunu gösterir ve iyi programlama dillerini takdir etmeye yardımcı olur.
Weierstrass'ın fonksiyonu ve Dirichlet fonksiyonu temel olarak süreklilik kavramı ile ilgili bazı yanlış anlamaları göstermek için kullanım alanı bulur.

Şu anda hipotez testlerini kullanma konusunda bazı öğretiler hazırlıyorum ve çok düşük güce sahip (ancak başka kusurları olmayan) bir teste sahip olmanın istatistiksel güç kavramını göstermeye yardımcı olacağını düşünüyorum. (Tabii ki, yine de belirli bir örneğin dinleyicim için didaktik olarak yararlı mı yoksa sadece kafa karıştırıcı mı olduğuna kendim karar vermeliyim.)

Gerçek Soru

Kasten düşük güce sahip herhangi bir istatistiksel test var mı, daha spesifik olarak:

Test, hipotez testlerinin genel çerçevesine uyar, yani boş bir hipotezle çalışır, gereksinimleri vardır ve (doğru) p değeri döndürür .
Ciddi uygulama için tasarlanmamış / önerilmemiştir.
Çok düşük bir güce sahiptir (kasıtlı bir tasarım kusuru nedeniyle ve düşük numune veya etki büyüklüğü nedeniyle değil).

Temelde böyle bir testin var olamayacağını iddia ederseniz, bunun da sorum için geçerli bir cevap olduğunu düşünürdüm. Öte yandan, bu tür testlerin bolluğu varsa, en didaktik açıdan verimli olanla ilgileniyorum, yani kolayca erişilebilir olmalı ve çarpıcı bir etkiye sahip olmalıdır.

Genel istatistiksel hatalar (kiraz toplama, vb.) Veya benzeri bir seçim istemediğimi unutmayın .

Şimdiye kadar bulduğum şey

İnternet aramaları benim için hiçbir şey getirmedi.

Böyle bir şey inşa etmek için yapılan her girişim ya bazı (yararlı) mevcut testlerde sona erdi ya da format normal bir testin sonucu değildi. Örneğin, bir popülasyonun tüm örnekler pozitifse sadece evet veren pozitif bir medyan olup olmadığını test ettim ; ancak bu test bir p değeri döndürmez ve bu nedenle normal test çerçevesine uymaz. Pozitif ve negatif işaretleri bir test istatistiği olarak sayarsam (ve p değerlerini buna göre hesaplarsam ), sonunda makul bir test olan işaret testi ile sonuçlanırım.

hypothesis-testing teaching humor

— Wrzlprmft
kaynak

Daha matematiksel olarak, "ezoterik" örnekler (ki bu) popüler yanlış anlamalara karşı özel karşı örneklerdir; bazı ders kitapları bu örnekleri içerir. Haliyle, sorunuz aslında bir "büyük liste" türü sorudur ve bu yüzden çok geniştir (ancak birkaç kullanıcının sorunun belirsiz olduğu sonucuna vardığını unutmayın); sorunuzu açıklığa kavuşturabilir ve kapsamını daraltabiliyorsanız siteye daha uygun olabilir.

— Glen_b-Monica'yı

Neye kıyasla düşük güç? Lehmann, herhangi bir alternatif hipotez altında sıfırdan daha düşük güce sahip olan genelleştirilmiş bir olasılık oranı testi örneği verdi.

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

Rao-Blackwellization uyguladığınız aptal tahmincilerin herhangi biri test istatistiği olarak kullanılabilir. Örneğin, numunede, ortalamanın bir tahmincisi olarak kullanılan ilk gözlem vardır. Rao-Blackwellized olduğunda, örnek ortalamasını elde edersiniz. Sınıfta bunun gibi birçok egzersiz yapmak zorunda kaldım. Her neyse, bu istatistik

testi gibi bir şeyde örnek ortalaması yerine kullanılabilir . Ama hayır, doğrudan aradığınız formda hiçbir şey düşünemiyorum, ya da bir cevap değil, bir cevap yazardım. Ancak, test yapımı için genel bir yöntemin başarısızlığını gösteren bir şey olmalı.

t

$t$

— user54038

Bilgisayardayken Lehmann gazetesini kazacağım. Null altındaki bir testin gücü yalnızca testin boyutudur.

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

Sınıfta öğrenci olduğum bir örnek test (yıllar önce) "adil 20 taraflı bir kalıp yuvarlayın ve 1 yuvarlarsanız reddedin" (güç eğrileri tartışmasının bir parçası olarak). Bu elbette verileri tamamen göz ardı eder, ancak istenen tip I hata oranından daha yüksek olmadığı için (örneğin verilen bağlamda% 5 idi) "geçerli" bir testtir.

— Glen_b

Yanıtlar:

Küçük-belirtti-on doğal sonucu Neyman- Pearson lemma için (Geisser ispat (2006), var Parametrik İstatistiksel Çıkarım Modu :, Bölüm 4.4)

E ϕ (X) = α

$\operatorname{E}\phi(X)=\alpha$

ϕ (x) = {\begin{cases} 0 & when f_{0} (x) < k f_{1} (x) \\ 1 & when f_{0} (x) > k f_{1} (x) \end{cases}

$\phi(x) = \begin{cases} 0\ & \text{when $f_0(x) < kf_1(x)$} \\ 1\ & \text{when $f_0(x) > kf_1(x)$} \end{cases}$ tanımlayan en güçlü seviye-

α

$\alpha$ Test,

ϕ

$\phi$ , boş hipotezi

H_{0} :

$H_0:$ yoğunluk

f_{0}

$f_0$ vs

H_{1} :

$H_1:$ yoğunluk

f_{1}

$f_1$ verilerinden

x

$x$ .

Bu sonuçtan eşit olarak en az güçlü, yerel olarak en az güçlü, tekdüze en az güçlü benzer ve en az güçlü "tamamen yanlı" testler elde edebilirsiniz (yani sıfırın altında herhangi bir alternatif altında daha düşük güce sahip olanlar). Eğer tekdüze bir şekilde daha güçlü iseniz & c. test edin, bölümlerin sırasını tersine çevirirken oluşturduğu örnek alanın bölümlenmesini sürdürmek için test istatistiklerinizi -1 ile çarpın.

Belki de @ user54038'in de belirttiği gibi, "genel bir test oluşturma yönteminin başarısızlığı" daha ilginç olabilir. Lehmann (1950), "İstatistiksel hipotezleri test etme teorisinin bazı ilkeleri", Ann. Matematik. Devletçi. , 21 , 1, aşağıdaki örneği Stein ile ilişkilendirir:

$X$ $0, \pm 1, \pm 2$

$\begin{array}{rccccc} - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ Hypothesis H : & \frac{α}{2} & \frac{α}{2} & \frac{1}{2} - α & \frac{1}{2} - α & α \\ Alternatives: & p C & (1 - p) C & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & α \frac{1 - c}{1 - α} \end{array}$ $\begin{array}{r c c c c c} & -2 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \hline \text{Hypothesis $H$:} & \frac{\alpha}{2} & \frac{\alpha}{2} & \frac{1}{2} - \alpha & \frac{1}{2} - \alpha & \alpha\\ \hline \text{Alternatives:} & pC & (1-p)C & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \alpha\frac{1-c}{1-\alpha}\\ \end{array}$ $\alpha$ $C$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$ $\frac{\alpha}{2-\alpha}< C <\alpha$ $p$ $[0,1]$

$H$ $\alpha$ $X=\pm2$ $C$ $C<\alpha$ $\alpha$ $X$

$p$ $X=-2$ $X=2$ $\hat p=1$ $\hat p=0$ $\frac{2C}{\alpha}$ $X$ $\frac{1-C}{1-\alpha}$

— Scortchi
kaynak

(@Scortchi tarafından yapılan yorumla ilgili)

$X \sim N(\mu, 1)$

\begin{aligned} H_{0} & : μ = 0 \\ H_{1} & : μ \neq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} H_0&: \mu = 0 \\ H_1&: \mu \neq 0 \end{align*}$

$Z \sim Bernoulli(p)$ $p$ $\alpha$ $p \in [\alpha, 1]$

R = {(X, Z) | z = 1 \land | x | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})}

$R = \left\{(X, Z) \ | \ z = 1 \ \wedge |x| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right) \right\}$

$\alpha$

\begin{aligned} P (X \in R | μ = 0) & = P (Z = 1, | X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = P (Z = 1) P (| X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = p \frac{α}{p} = α \end{aligned}

$\begin{align*} P(X\in R \ | \ \mu=0) &= P\left(Z=1 \ , \ |X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= P(Z=1)P\left(|X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= p\frac{\alpha}{p} = \alpha \end{align*}$

$p$ $(x, z) = (1000000, 0)$ $p=\alpha$ $X$ $\alpha$

$Z$

— knrumsey
kaynak

S

$S$

Z = 1 (S < F_{S}^{- 1} (p))

$Z=\boldsymbol{1}(S<F_S^{-1}(p))$

F_{S} (\cdot)

$F_S(\cdot)$

S

$S$