Gauss Süreci / Dirichlet Süreci gibi Stokastik Süreçlerin yoğunlukları var mı? Değilse, Bayes kuralı onlara nasıl uygulanabilir?

Dirichlet Pocess ve Gauss Süreci genellikle "işlevler üzerinden dağılımlar" veya "dağılımlar üzerinden dağılımlar" olarak adlandırılır. Bu durumda, GP altındaki bir fonksiyonun yoğunluğu hakkında anlamlı bir şekilde konuşabilir miyim? Yani, Gauss Süreci veya Dirichlet Süreci bir olasılık yoğunluğu kavramına sahip mi?

Değilse, bir işlevin önceki olasılık kavramı iyi tanımlanmamışsa, Bayes kuralını posteriordan önce gitmek için nasıl kullanabiliriz? MAP veya EAP tahminleri gibi şeyler Bayes Parametrik olmayan dünyasında var mı? Çok teşekkürler.

Bir "yoğunluk" veya "olasılık", ölçüm teorisindeki Radon-Nikodym teoremi ile ilgilidir. @ Xi'an tarafından belirtildiği gibi, stokastik bir sürecin kısmi olarak adlandırılan sonlu gözlem kümesini düşündüğünüzde , olasılık Lebesgue ölçüsündeki olağan türev kavramına karşılık gelir. Örneğin, bilinen bir sonlu indeks kümesinde gözlemlenen bir Gauss işleminin olasılığı, Gauss rastgele bir vektörün vektörüdür ve ortalaması, her ikisinin de parametreli formları alabilen, işleminkinden çıkarılan bir kovaryanstır.

Stokastik bir süreçten sonsuz sayıda gözlemin mevcut olduğu idealize edilmiş durumda, olasılık ölçüsü sonsuz boyutlu bir alan üzerindedir, örneğin stokastik sürecin sürekli yolları varsa sürekli işlevler alanı. Ancak sonsuz boyutlu bir uzayda bir Lebesgue ölçüsü gibi hiçbir şey yoktur, bu nedenle olasılığın açık bir tanımı yoktur.

Gauss süreçleri için, Gauss tedbirlerinin denklik kavramını kullanarak bir olasılığı tanımlayabileceğimiz bazı durumlar vardır. Önemli bir örnek Girsanov'un finansal matematikte yaygın olarak kullanılan teoremi ile sağlanmaktadır. Bu bir Itô difüzyonu olasılığını tanımlar $Y_t$ türev olarak standart bir Wiener işleminin olasılık dağılımı $B_t$ için tanımlanmış $t \geq 0$. Bernt Øksendal'ın kitabında düzgün bir matematik sergisi bulundu . Särkkä ve Solin'in (gelecek) kitabı, uygulayıcılara yardımcı olacak daha sezgisel bir sunum sunuyor. Nate Elderedge tarafından Sonsuz Boyutlu Uzaylarda Analiz ve Olasılık üzerine parlak bir matematik sergisi mevcuttur.

Tamamen gözlenecek olan stokastik bir süreç olasılığına bazen istatistikçiler tarafından doldurma olasılığı denir .