olasılığı

9

ve parametresine sahip bağımsız geometrik rastgele değişkenler olduğunu varsayalım . olasılığı nedir ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

Bu soru hakkında kafam karıştı çünkü ve hakkında geometrik olanlardan başka bir şey söylemedik . Bu olmaz çünkü ve aralığında herhangi bir şey olabilir? $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

EDIT: Yeni deneme

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = ve $P(X1 < X2)$ $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Bu nedenle, = = Ekleme buna, = alıyorum $P(X1 > X2)$ $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ $\frac{1-p}{2-p}$
$P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ $P(X1 ≥ X2)$ $\frac{1}{2-p}$

Bu doğru mu?

self-study random-variable geometric-distribution

— IRCA
kaynak

3

Lütfen 'kendi kendine çalışma' etiketini ekleyin.

— StubbornAtom

1

Aslında X1ve X2farklı değişkenler olduğu için eşitlik bazı şeyleri daha az belirgin hale getirir.

— usεr11852

13

olamaz çünkü $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

Tek bir yaklaşım:

Örnek alanı bölümleyen üç ve olayını düşünün . $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

İlk ikisi arasında bariz bir bağlantı var. Üçüncü için bir ifade yazın ve basitleştirin. Bu nedenle soruyu çözün.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Yeni cevabımla görevimi düzenledim. Bir göz atabilir ve doğru olup olmadığını görebilir misiniz?

— IrCa

1

Evet, cevaplarınız doğru görünüyor. Alternatif bir yöntem (benzer bir fikir kullanılarak), (yine ve simetrisinden / değiştirilebilirliğinden faydalanarak ) dikkat etmek olacaktır.

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b

6

Glen'in önerisini takiben cevabınız doğru. Başka, daha az zarif bir yol sadece koşullandırmaktır:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Bu , iki geometrik seriyi ele aldıktan sonra size aynı verecektir . Glen'in yolu daha iyi. $1/(2-p)$

— Zen
kaynak

4

not - yolunuz bence yeni sorunlara başvurmak için daha iyi. Çünkü ilk prensiplere dayanıyor. Glen_b'nin cevabından gelen hile / intuiton genellikle sorun sizin yerinize çözüldükten sonra gelir

— olasılık

3

@probabilityislogic "İlk prensipler" den türetme hevesinizi paylaşıyorum. Bununla birlikte, modern bir matematikçi için simetri aramak ve sömürmek, bahsettiğiniz ilk ilkelerden (tanımlardan) daha da temeldir : buna matematik metaforiği diyebiliriz . Bu sadece bir numaradan çok daha fazlası.

— whuber