Nasıl test edilir

Diyelim ki ortalama üç bağımsız grubum var $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ sırasıyla.

Nasıl test edebilirim $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ ya da kullanmamak $n_1,~n_2,~n_3$ her gruptan örnekler?

Ayrıntılı hesaplama değil, bazı genel metodolojileri bilmek istiyorum. Hipotezimi nasıl ayarlayacağımı anlayamadım$H_0$ ve $H_1$.

İstatistiklerde "X'in doğru olup olmadığını" test edemezsiniz. Yalnızca sıfır hipotezinin yanlış olduğuna dair kanıt bulmaya çalışabilirsiniz.

Diyelim ki sıfır hipoteziniz

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ Ayrıca vektörü tahmin etmenin bir yolunun olduğunu varsayalım $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$. İşleri saklamak için bir tahminciniz olduğunu varsayalım. $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ nerede $\Sigma$ dır-dir $3 \times 3$değişken değişken matris. Sıfır hipotezini şu şekilde yeniden yazabiliriz: $$A \mu < 0,$$ nerede $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ Bu, sıfır hipotezinizin vektör üzerinde eşitsizlik kısıtlaması olarak ifade edilebileceğini gösterir $A \mu$. Doğal bir tahmincisi$A\mu$ tarafından verildi $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$ Çerçeveyi artık normal vektörlerde eşitsizlik kısıtlamasını test etmek için kullanabilirsiniz:

Kudo, Akio (1963). “Tek taraflı testin çok değişkenli bir analogu”. In: Biometrika 50.3 / 4, s. 403-418.

Bu test ayrıca, normalite varsayımı yalnızca yaklaşık olarak ("asimtotik olarak") geçerliyse de çalışır. Örneğin, gruplardan örnek araçlar çizebilirseniz işe yarayacaktır. Boyut örnekleri çizerseniz$n_1, n_2, n_3$ ve gruplardan bağımsız olarak çizim yapabiliyorsanız $\Sigma$ köşegenli bir köşegen matristir

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ nerede $\sigma_k^2$ gruptaki varyans $k = 1, 2, 3$. Bir uygulamada, testin özelliklerini değiştirmeden bilinmeyen popülasyon varyansı yerine örnek varyansı kullanabilirsiniz.

Öte yandan alternatif hipoteziniz

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ then your null hypothesis becomes $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ This isn't very operational. Remember that our new alternative hypothesis can be written as $H_1: A\mu <0$ so that $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ I don't know if there exists any specialized test for this, but you can definitely try some strategy based on successive testing. Remember that you try to find evidence against the null. So you may first test $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ and then $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ If you reject both times then you have found evidence that $H_0$ is false and you reject $H_0$. If you don't, then you don't reject $H_0$. Since you are testing multiple times you have to adjust the nominal level of the subtest. You can use a Bonferroni correction or figure out an exact correction (since you know $\Sigma$).

Another way of constructing a test for $H_0^2$ is to note that

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ This implies using $\max Ax$ as a test statistic. The test will have a non-standard distribution under the null, but the appropriate critical value should still be fairly easy to compute.

The answer provided by @andreas-dzemski is correct only if we know that the data is normally distributed.

If we do not know the distribution, I believe it would be better to run a nonparametric test. In this case, the simplest seems to run a permutation test. This is a book about the topic and this is a nice online explanation. Below I include R code to compute this test.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))