Y yoğunluğu = Gamma dağıtılmış X için log (X)

Bu soru bu yazı ile yakından ilgili

Rastgele bir değişkenim var ve tanımlıyorum . olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak istiyorum . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

Başlangıçta sadece kümülatif dağılım fonksiyonu X'i tanımlayacağımı, bir değişken değişikliği yapacağımı ve integralin "iç kısmını" yoğunluğum olarak alacağımı düşündüm

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq günlük c) & = \int_{günlük (0)}^{günlük (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} tecrübe (y)^{k - 1} e^{- \frac{tecrübe (y)}{θ}} tecrübe (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

Burada kullanımı ve için tanımlarda, daha sonra alt ve açısından . $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

Çıktı maalesef 1 ile bütünleşmiyor. Hatamın nerede olduğundan emin değilim. Bazıları hatamın nerede olduğunu söyleyebilir mi?

pdf gamma-distribution

— duckworthd
kaynak

Cdf üzerinden çalışıyorsanız, integrali ilkinden ikinci integrale değiştirmemelisiniz. Sizin hatanız, hem cdf hem de Jacobian yaklaşımlarını aynı anda kullanmaya çalışmaktır.

— Xi'an

Net bir resim elde etmek için yoğunlukları göstergelerle yazın.

Eğer , daha sonra $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} {ben}_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

Eğer , ters ile , daha sonra $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$ Ve CDF tanım elde edilir

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} tecrübe (k y - e^{y} / θ) {ben}_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— Zen
kaynak

Bu iyi bir cevaptır, ancak belki de Gamma dağılımını orijinal soru ile aynı şekilde parametreleştirmelisiniz.

— varsayılan

İyi nokta, Max. Bitti.

— Zen

α = k

$\alpha = k$