Durum

Bazı araştırmacılar sizi uyutmak istiyor. Adil bir madalyonun sırrına bağlı olarak, sizi bir kez (Başlar) veya iki kez (Kuyruklar) kısaca uyandırırlar. Her uyandıktan sonra, sizi uyandırdığınızı unutan bir ilaçla uyumaya başlatacaklar. Eğer uyanmış zaman, ne ölçüde olmalıdır için size yazı-tura sonucu Başkanları olduğuna inanıyoruz?

(Tamam, belki de bu deneyin konusu olmak istemezsiniz! Bunun yerine Sleeping Beauty'in (SB) Kabul Edildiğini (tabii ki Magic Kingdom'ın Kurumsal İnceleme Kurulunun onayı ile birlikte) kabul etmek üzere. yüz yıl boyunca uyumak, peki, bir ya da iki gün daha, neyse?)

[ Maxfield Parrish gösteriminin detayı .]

Halfer veya Thirder mısınız?

Halfer pozisyonu. Basit! Bozuk para adildir - ve SB bunu biliyor - bu yüzden yarım buçuk şansı olduğuna inanmalı.

Thirder konumu. Bu deney birçok kez tekrarlandıysa, yazı tipi SB'nin uyandığı zaman sadece üçte birine başkanlık eder. Kafalara olan olasılığı üçte biri olacak.

Susuzlukların bir sorunu var

Bu konuda yazmış olanların çoğu, ancak hepsi değil, susuzluktur. Fakat:

• Pazar akşamı, SB uyumadan hemen önce, kafalarının şansının yarısı olduğuna inanması gerekir: adil bir para olmanın anlamı budur.

• Ne zaman SB uyanırsa, Pazar gecesi bilmediği hiçbir şey öğrenemedi. Öyleyse, kafalara olan inancının artık bir buçuk değil de üçte biri olduğunu belirttiği için hangi rasyonel argümanı verebilir?

Bazı açıklamalar denendi

• SB, 1/3 dışında herhangi bir oranla kafalara oynanan bahislerde mutlaka para kaybeder. (Vineberg, diğerlerinin Alios )

• Gerçekten bir buçuk doğrudur: Sadece Quantum Mechanics'in Everettian “çok dünyaları” yorumunu kullanın! (Lewis).

• SB, dünyadaki “geçici konumunun” kendi algısına dayanarak inancını güncellemektedir. (Elga, ia )

• SB'nin kafası karışmış durumda: “[Uyan] uyandığında epistemik durumunun kafalarda kesin bir inanç derecesi içermemesi gerektiğini söylemek daha mantıklı görünüyor. … Asıl mesele, kişinin bilinen, kaçınılmaz, bilişsel arızalarla nasıl başa çıkacağıdır. ”[Arntzenius]

---

Soru

Bu konuda ne yazıldığına ilişkin muhasebe ( önceki yayınların yanı sıra referanslara bakın ), bu paradoks istatistiki olarak titizlikle nasıl çözülebilir? Bu mümkün mü?

---

Referanslar

Arntzenius, Frank (2002). Uyuyan Güzel Analizi Üzerine Düşünceler 62.1, 53-62.

Bradley, DJ (2010). Dallanma Dünyasında Onay: Everett yorumlanması ve uyuyan güzel . Brit. J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Elga, Adam (2000). Kendini konumlandırma inancı ve Uyuyan Güzel Problemi. Analiz 60 s 143-7.

Franceschi, Paul (2005). Uyuyan Güzel ve Dünyayı Azaltma Sorunu . Ön baskı.

Groisman, Berry (2007). Uyuyan Güzel'in kabusu sona erdi . Ön baskı.

Lewis, D (2001). Uyuyan Güzel: Elga'ya cevap . Analiz 61.3 sayfa 171-6.

Papineau, David ve Victor Dura-Vila (2008). Bir Thirder ve Everettian: Lewis'in 'Kuantum Uyuyan Güzeline' bir cevap .

Pust, Joel (2008). Uyuyan Güzel üzerine Horgan . Synthese 160 s. 97-101.

Vineberg, Susan (tarihsiz, belki 2003). Güzelliğin Dikkatli Hikayesi .

strateji

Rasyonel karar teorisini analize uygulamak istiyorum, çünkü bu istatistiksel bir karar problemini çözmede titizlik kazanmanın iyi bir yoludur. Bunu yapmaya çalışırken, bir zorluk özel olarak ortaya çıkar: SB'nin bilincinin değişmesi.

• Akılcı karar teorisi, değişmiş zihinsel durumları ele almak için hiçbir mekanizmaya sahip değildir.

• SB'nin madeni paralı çevirideki güvenilirliğini sorurken, aynı anda hem özne (hem SB denemesinin) hem de deneycisinin (madeni para çevirme ile ilgili) olduğu gibi kendi kendine referanslı bir şekilde davranıyoruz.

Deneyi gereksiz bir şekilde değiştirelim: hafıza silme ilacını uygulamak yerine , deney başlamadan hemen önce bir Sleeping Beauty klonu kararlı hazırlayın . (Bu ana fikir, çünkü dikkat dağıtıcı - ama nihayetinde ilgisiz ve yanıltıcı - felsefi sorunlara direnmemize yardımcı oluyor.)

• Klonlar, hafıza ve düşünce de dahil olmak üzere her bakımdan onun gibidir.

• SB bunun olacağının bilincindedir.

Biz olabilir prensipte, klon. ET Jaynes “Uyuyan Güzeller problemini düşünmek için ihtiyaç duyduğumuz bir şey -“ İnsanın sağduyunun matematiksel bir modelini nasıl kurabiliriz? ”Sorusunun yerini alır. İdealleştirilmiş bir sağduyu ifade eden açıkça tanımlanmış ilkeleri izleyerek mi? " Böylece, eğer isterseniz, Jaynes'in düşünme robotunu kullanarak SB'yi değiştirin ve klonlayın.

(“Düşünme” makineleri hakkında tartışmalar var ve hala var.

“Hiçbir zaman insan aklını değiştirmek için bir makine yapmazlar - hiçbir makinenin yapamayacağı birçok şeyi yapar.”

Bir makinenin yapamayacağı bir şey olduğu konusunda ısrar ediyorsun. Bana bir makinenin yapamayacağı şeyin ne olduğunu tam olarak söyleyecekseniz, o zaman bunu yapacak olan bir makine yapabilirim! ”

--J. von Neumann, 1948. ET Jaynes'in Olasılık Teorisinde Alıntı Aldığı : Bilim Mantığı , s. 4.)

--Rube Goldberg

Uyuyan Güzel deneyi yeniden düzenlendi

Pazar akşamı SB'nin aynı nüshasını (kendisi de dahil olmak üzere) hazırlayın . Hepsi potansiyel olarak 100 yıl boyunca aynı anda uyuyor. Deney sırasında SB'yi uyandırmanız gerektiğinde, henüz uyanmamış bir klonu rastgele seçin . Herhangi bir uyanış Pazartesi günü ve gerekirse Salı günü yapılacaktır.$n \ge 2$

Denemenin bu versiyonunun, SB'nin zihinsel durumlarına ve farkındalığına kadar, aynı olasılıklarla tamamen aynı olası sonuç kümesini yarattığını iddia ediyorum. Bu potansiyel olarak, filozofların çözümüme saldırmayı seçebilecekleri kilit noktalardan biridir. Kalanın son saldırı noktası olduğunu iddia ediyorum , çünkü kalan analiz rutin ve titiz.

Şimdi olağan istatistik makinelerini uyguluyoruz. Örnek alanla başlayalım (olası deneysel sonuçlardan). Let "Pazartesi uyanır" demek ve anlama "Salı uyanır." Benzer şekilde, izin "kafa" ve "t" ortalama kuyrukları anlamına gelir. Klonları tamsayıları ile . Daha sonra olası deneysel sonuçlar (umduğumda şeffaf, kendini kanıtlayan bir ifadedir) set olarak yazılabilir.T h 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Pazartesi olasılıkları

SB klonlarından biri olarak, Pazartesi günü bir heads-up deneyinde şansınızın ( şans) kez ( şans, uyanmış klon olmak için seçildim) olduğunu düşünüyorsunuz. Daha teknik açıdan:1 /$1/2$$1/n$

• sonuçları, . Bunlardan var .$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• Etkinlik Eğer kafaları ile uyandırılan bir .$h(i) = \{hM_i\}$

• Herhangi bir özel SB klonunun şansı başlığını gösteren madeni para ile uyandırılmayı eşittirPr [ h ( i ) ] = Pr [ h ] × Pr [ h ( i ) | h ] = $i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Salı olasılıkları

• Yazı sonuçlarının kümesi . Bunlardan . Hepsi tasarımla eşit derecede muhtemeldir.$t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Eğer, klon , de uyandırılan , bu olgunun; yani, Pazartesi günü uyandırılabileceğiniz yollar ( Salı günü uyanacak kalan klonlar var) ve Salı günü uyandırılabileceğiniz yöntemler ( Pazartesi günleri olabilir). Bu olayı .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• Düzeltme deneyi sırasında uyanma şansınız

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Bayes teoremi

Şimdi bu ana kadar geldiğimize göre, Bayes Teoremi - anlaşmazlığın ötesinde matematiksel bir totoloji - işi bitiriyor. Herhangi bir klonun kafa şansı bu yüzden

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Çünkü SB klonlarından ayırt edilemez - hatta kendine bile! - bu, kafasına olan inanç derecesini sorduğu zaman vermesi gereken cevap.

Yorumlama

"Kafaların olasılığı nedir" sorusu , bu deney için iki makul yoruma sahiptir : bu, (Halfer cevabı) olan adil bir madalyonun kafaya inme şansını isteyebilir ya da Klonun uyanmış olduğunuz gerçeğine bağlı olarak madalyonun kafaları atma şansını isteyin. Bu (Thirder cevabı).Pr [ h | t ( i ) ∪ h ( i ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

SB'nin (veya bir dizi özdeş şekilde hazırlanmış Jaynes düşünme makinelerinin herhangi birinin) kendini bulduğu durumda, bu analiz - çoğu diğerinin yaptığı (ama daha az ikna edici bir şekilde düşünüyorum, çünkü felsefi dikkat dağıtıcıları açıkça ortadan kaldırmazlardı) deney açıklamalarında) - Thirder cevabını destekler.

Halfer'in cevabı doğrudur, fakat ilgisizdir, çünkü SB'nin kendisini bulduğu durumla ilgili değildir. Bu, paradoksu çözer.

Bu çözüm, tek bir iyi tanımlanmış deneysel kurulum bağlamında geliştirilmiştir. Deneyi netleştirmek soruyu netleştirir. Net bir soru net bir cevaba yol açar.

Yorumlar

Sanırım, Elga (2000) 'den sonra, koşullu cevabımızı “h'nin gerçeği ile ilgili olarak kendi geçici konumunuzu sayar” olarak yasal olarak nitelendirebilirsin, ancak bu karakterizasyon soruna bir fikir eklemez: kanıtlardaki matematiksel gerçekler. Bana göre, olasılık sorusunun "klonları" yorumlamasının doğru olduğunu iddia etmenin sadece belirsiz bir yolu olduğu görülüyor.

Bu analiz, temel felsefi sorunun kimliğe ait olduğunu göstermektedir : Uyanmamış klonlara ne olur? Klonlar arasında hangi bilişsel ve noetik ilişkiler var? - ama bu tartışma istatistiksel bir analiz meselesi değil; Üzerinde ait farklı bir forum .

Bu mükemmel yazı (+1) ve çözüm (+1) için teşekkürler. Bu paradoks zaten başımı ağrıtıyor.

Sadece perileri, mucizeleri ve sihirli iksirleri gerektirmeyen bir durum düşündüm. Pazartesi öğlende adil bir yazı tura atın. 'Tails' üzerine Alice ve Bob'a bir posta gönderin (diğerinin sizden bir posta aldığını ve iletişim kuramadıklarını bilmedikleri bir şekilde). 'Heads' üzerine, bunlardan birine rastgele bir posta gönderin (olasılık ).$1/2$

Alice bir posta aldığında, madalyonun 'Kafalara' düşme olasılığı nedir? Bir mektup alma ihtimali ve madalyonun 'Başları' üzerine koyma olasılığı .1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Burada hiçbir paradoks yoktur, çünkü Alice olasılıklı bir mektup almaz , bu durumda madalyonun 'Heads' üzerine çıktığını bilir . Bu durumda onun fikrini sormamamız gerçeği, bu olasılığı 0'a eşitliyor .$1/4$

Peki, fark nedir? Alice neden bir posta alarak bilgi edinmiş ve SB uyanmakta olan hiçbir şey öğrenmemiş?

Daha mucizevi bir duruma geçtikten sonra, uykuya 2 farklı SB koyduk. Madeni para 'Tails'e indiğinde her ikisini de uyandırırsak,' Heads 'e düşerse, ikisini de rastgele uyandırırız. Burada yine, SB'lerin her biri, “Başlara” madeni para çıkarma ihtimalinin ve yine paradoks olmadığını söylemelidir, çünkü bu SB'nin uyanmaması için şansı vardır.1 /$1/3$$1/4$

Ancak bu durum orijinal paradoksata çok yakındır çünkü hafızayı silmek (veya klonlamak) iki farklı SB'ye eşdeğerdir. Bu yüzden burada @Douglas Zare ile beraberim (+1). SB uyandırılarak bir şey öğrendi. Madalyonun 'Heads' olduğu zaman Salı günü fikrini ifade edememesi gerçeği, uyuduğu için uyandırdığı bilgiyi silmez.

Bence paradoks, " Pazar gecesi bilmediği kesinlikle hiçbir şey öğrenemedi " dediği gerekçesiyle yatıyor . Bu izlenime sahibiz, çünkü uyandığı durumlar aynıdır, ancak bu aynı şekilde Alice'in bir posta alması gibidir: kendisine bilgi veren fikrinin sorulması gerçeğidir.

BÜYÜK EDİT : Derin bir düşünce verdikten sonra fikrimi değiştiriyorum: Uyuyan Güzel hiçbir şey öğrenmedi ve yukarıda verdiğim örnek onun durumunun iyi bir örneği değil.

Ancak burada paradoksal olmayan eşdeğer bir problem var. Alice ve Bob ile şu oyunu oynayabilirim: Gizlice yazı tura atar ve bağımsız olarak tahmin edemedikleri 1 $ bahis koyarım. Ancak jeton “Tails” e düşerse, her iki Alice of Bob'un bahsi de iptal edilir (para el değiştirmez). Kuralları bildikleri göz önüne alındığında ne bahis yapmalı?

Açıkçası 'Heads'. Madeni para 'Heads' ine düşerse, 1 $ kazanırlar , aksi takdirde ortalama 0,5 $ kaybederler . Bu madalyonun 'Başları' üzerine inme şansının 2 / 3'ü olduğuna inandıkları anlamına mı geliyor? Tabii ki değil. Basitçe protokol, her cevap için aynı miktarda para kazanamayacakları şekildedir.

Uyuyan Güzel'in Alice ya da Bob ile aynı durumda olduğuna inanıyorum. Olaylar ona fırlatma hakkında bilgi vermiyor , ancak bahis yapması istenirse, kazancındaki asimetriler nedeniyle oranları 1: 1 değil. Bu @whuber ne anlama geldiğine inanıyorum

Halfer'in cevabı doğrudur, fakat ilgisizdir, çünkü SB'nin kendisini bulduğu durumla ilgili değildir. Bu, paradoksu çözer.

“Ne zaman SB uyanırsa, Pazar gecesi bilmediği hiçbir şey öğrenemedi.” Bu yanlış, "Ya piyangoyu kazandım ya da kazanmadım, yani olasılık ". Uyandığını öğrendi. Bu bilgidir. Şimdi her olası uyanışın eşit derecede muhtemel olduğuna inanmalı, her madeni para çevirme değil.$50\%$

Doktorsanız ve bir hasta ofisinize girerse, hastanın bir doktorun ofisine girdiğini ve değerlendirmenizi öncekinden değiştirmesi gerektiğini öğrendiniz. Eğer herkes doktora gidiyorsa , ancak popülasyonun hasta yarısı sağlıklı yarısı kadar kat gidiyorsa, o zaman hasta size girdiğinde hastanın muhtemelen hasta olduğunu bilir.$100$

İşte başka bir küçük değişiklik. Madeni para atmanın sonucu ne olursa olsun, Sleeping Beauty iki kez uyanacak. Ancak, eğer kuyruklarsa, iki kez güzelce uyandırılır. Eğer kafa ise, bir kez güzelce uyanacak ve üzerine bir kez buz koyacak. Bir buz yığını içinde uyanırsa, madalyonun geldiği bilgisine sahiptir. Güzelce uyanırsa, madalyonun büyük olasılıkla gelmediğine dair bilgisi vardır. Olumlu sonucu (buz) kafalarının daha düşük olduğunu belirten negatif sonuç (hoş) olmadan kafalarının daha muhtemel olduğunu söyleyen dejenere olmayan bir test yapamaz.

Paradoks, tek bir deney ve sınır noktası arasındaki perspektif değişiminin içinde yatıyor. Deneme sayısı dikkate alındığında, bunu, çifte ve susuzlukların "ya da / ya" dan daha kesin bir şekilde anlayabilirsiniz:

Tek Deneme: Halvers haklı

Tek bir deney varsa, üç sonuç vardır ve olasılıkları uyanmış perspektifinden belirlemeniz gerekir:

1. Heads atıldı:% 50
2. Kuyrukları fırlatıldı ve bu benim ilk uyanışım: 25%
3. Kuyrukları fırlatıldı ve bu benim ikinci uyanışım: 25%

Yani, tek bir deneyde, herhangi bir uyanma olayında, kafalarının atıldığı bir durumda olduğunuzu 50/50 varsaymanız gerekir.

İki deney:% 42 ers haklıdır

Şimdi iki deneme deneyin:

1. Kafalar iki kez fırlatıldı:% 25 (her iki uyanış için de bir araya geldi)
2. Yazı iki kez fırlatıldı:% 25 (dört uyanışın tümü için)
3. O zaman kafaları Tails ve bu benim ilk uyanışım: 25% / 3
4. Başları sonra Tails ve bu benim 2. veya 3. uyanışım: 25% * 2/3
5. Yazıyı daha sonra Başlar ve bu benim ilk veya 2. uyanışım: 25% * 2/3
6. Yazıyı daha sonra Heads ve bu benim 3 uyanışım: 25% / 3.

Yani burada, {1, 3, 6},% 25'den az olan% 25.66,% 41.66 olan,% 25.66,% 41.66 birleşik olasılıkla, sizin Heads devletlerinizdir . Eğer iki deney yapılırsa, herhangi bir uyandırma olayında, Heads atılan bir durumda olma ihtimaliniz% 41.66 olduğunu varsaymalısınız.

Sonsuz deneyler: Susuzluklar doğru

Burada matematiği yapmayacağım, ancak iki deneme seçeneğine bakarsanız, # 1 ve # 2'nin yarıya doğru, diğerlerinin de üçe doğru sürdüğünü görebilirsiniz. Deney sayısı arttıkça, yarıya doğru sürüş seçenekleri (tüm kafalar / tüm kuyruklar) olasılıkla sıfıra düşerek "üçte" seçeneklerini devralacak. Sonsuz deneyler yapılırsa, herhangi bir uyandırma olayında, kafaların atıldığı bir durumda olma ihtimalinin 1 / 3'ü olduğunu varsaymalısınız.

Retorts Önleme:

Ama kumar?

Evet, tek bir deney örneğinde hala üçte bir oranında "kumar oynamalısınız". Bu bir tutarsızlık değildir; sadece, kesin bir sonuç verildiğinde aynı bahsi birden çok kez oynamış olmanız ve bunu önceden bilmeniz olabilir. (Ya da yoksa, mafya yapar).

Tamam, iki tek deney nasıl olur? Tutarsızlık çok?

Hayır, çünkü ilk denemede veya 2. denemede olup olmadığınızı bilmek sizin bilginize katkıda bulunur. Yönettiği "İki deneyleri" seçeneklerine bakmak ve bunları filtrelemek Let bilgi ilk denemede konum.

1. İlk uyanış için geçerlidir (1/2)
2. İlk iki uyanış için geçerlidir (2/4)
3. uygulanabilir
4. Asla uygulanabilir
5. İlk uyanış için geçerlidir (1/2)
6. Uygulanamaz

Tamam, Başkanları (1,3,6) al, bunları çarp, uygulanabilirlik oranına göre: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Şimdi Kuyrukları (2,4,5) alın ve aynısını yapın: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, onlar aynı. Gerçekte hangi deneyi yaptığınıza ilişkin ek bilgiler , bildiklerinizin oranını ayarlar.

Ancak, klonlar !!

Basitçe söylemek gerekirse, OP'ın cevabım postüla aksine, bu klonlama eşdeğer bir deneme oluşturur: klonlama artı rasgele seçim yapar aynı şekilde, "birden çok deneme" deneyi değiştirir Experimentee bilgisini değiştirin. İki klon varsa, her bir klonun olasılıklarının İki Deneme olasılığına karşılık geldiğini görebilirsiniz . Sonsuz klonlar, susuzluklara yaklaşır. Ancak bu aynı deney değil ve rastgele olmayan tek bir konuyla ilgili tek bir deney olarak aynı bilgi değil.

"Sonsuzdan rastgele birini" diyorsunuz ve ben Seçim Bağımlılığı Aksiyomunu söylüyorum

Bilmiyorum, set teorim o kadar da iyi değil. Ancak sonsuzluktan daha az olmayan N için verilenler, yarımdan üçte birine kadar yakınlaşan bir dizi oluşturabilirsiniz; üçüncüte eşitleyen sonsuz durum, hangi aksiyomları çağırırsanız yapın, en kötü ihtimalle ya gerçek ya da kararsız olacaktır.

Problemi değiştirelim.

Bozuk para gelirse, o zaman SB asla uyanmaz.

Kuyrukları varsa, SB bir kez uyanmış.

Şimdi kamplar Halfers ve Zeroers. Ve açıkça sıfırlar doğru.

Veya: Heads -> bir kere uyanmış; Kuyrukları -> milyon kere uyandı. Açıkçası, onun uyanık olduğu göz önüne alındığında, büyük olasılıkla kuyrukları.

(PS "yeni bilgi" konusunda - bilgi DESTROYED olabilir. Öyleyse, başka bir soru: Bir zamanlar sahip olduğu bilgiyi kaybetti mi?)

“Ne zaman SB uyanırsa, Pazar gecesi bilmediği hiçbir şey öğrenemedi.”

Bu doğru değil, bu yarıda çıkarılan argümandaki hatadır. Tartışmayı zorlaştıran şeylerden biri olan tho, bu ifadeye dayanan yarıçap argümanının nadiren alıntı yaptığımdan daha fazla titizlikle ifade edilmesidir.

Üç tane sorun var. İlk olarak, argüman "yeni bilgilerin" ne anlama geldiğini tanımlamaz. "Başlangıçta sıfır olmayan bir olasılığa sahip olan bir olay kanıtlara dayanarak gerçekleşemez" anlamına geliyor gibi görünüyor. İkincisi, bu tanımlamaya uyup uymadığını görmek için pazar günü bilinenleri hiçbir zaman saymaz; ve düzgün bakarsanız yapabilirsiniz. Son olarak, "bu tür yeni bir bilginiz yoksa güncelleme yapamazsınız" diyen bir teorem yoktur. Elinizde varsa, Bayes Teoremi bir güncelleme üretecek. Ancak bu yeni bilgiye sahip değilseniz güncelleme yapamayacağınız sonucuna varmak yanlış olur. Bir yanlışlık olması, doğru olmadığı anlamına gelmez, bu sonucu yalnızca bu kanıtlara dayanarak yapamazsınız.

Pazar Gecesi, SB'nin hayali bir altı taraflı kendi ölümü yaptığını söylüyor. Hayali olduğu için sonuca bakamıyor. Ancak amaç, uyanık olduğu günle eşleşip eşleşmediğini görmek için: çift sayı Pazartesi ile eşleştiğini ve tek sayı Salı anlamına gelir. Ancak bu iki günü etkin bir şekilde ayıran, her ikisiyle de eşleşemez.

SB şimdi (yani Pazar günü), {Heads / Tails, Monday / Tuesday, Match / No Match} için sekiz olası kombinasyon kombinasyonunu hesaplayabilir. Her biri 1/8 olacak. Fakat uyanık olduğunda, {Heads, Tuesday, Match} ve {Heads, Tuesday, Match} 'in olmadığını biliyor. Bu, halfers argümanının varolmadığını söylediği formun "yeni bilgisini" oluşturur ve SB'nin, araştırmacının madalyonunun başa çıkma ihtimalini güncellemesini sağlar. Hayali parasının gerçek günle eşleşip eşleşmediğinin 1 / 3'ü. Her iki şekilde de aynı olduğundan, bir eşleşme olup olmadığını bilmediği 1/3; ve gerçekte, o ölsün veya etmesin, ölsün diye hayal edin.

Bu ekstra ölüm, sonuç almak için geçmesi gereken çok şey gibi görünüyor. Aslında, gerekli değildir, ancak nedenini görmek için farklı bir "yeni bilgi" tanımına ihtiyacınız vardır. Güncelleme, önceki örneklem uzayındaki önemli (yani bağımsız ve sıfır olasılık olmayan) olayların, posterior örnek uzayındaki önemli olaylardan farklı olduğu her zaman meydana gelebilir. Bu şekilde, Bayes Teoremindeki oranın paydası 1 değildir. Bu, genellikle kanıtların bazı olayların sıfır olasılığına sahip olduğu durumlarda meydana gelirken, kanıtlar olayların bağımsız olup olmadığını değiştirdiğinde de oluşabilir. Bu çok sıradışı bir yorum, ama işe yarıyor, çünkü Güzellik bir sonucu gözlemlemek için birden fazla fırsat veriliyor. Ve günleri ayırt eden hayali ölümümün amacı, sistemi toplam olasılığın 1 olduğu bir sisteme dönüştürmekti.

Pazar günü, SB P (Uyanık, Pazartesi, Başlar) = P (Uyanık, Pazartesi, Kuyrukları) = P (Uyanık, Salı, Kuyrukları) = 1 / 2'yi bilir. Bunlar, 1 / 2'den daha fazla ekler çünkü olaylar SB'nin Pazar günü verdiği bilgilere dayanarak bağımsız değildir. Ama uyanıkken bağımsızlar. Bayes Teoremine göre cevap (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1 / 3'tür. 1'den büyük olan bir paydada yanlış bir şey yoktur; ancak hayali jeton argümanı aynı şeyleri böyle bir payda olmadan başarmak için tasarlandı.

Sadece bunun için tekrar açtım. Son mesajdan bu yana bazı düşüncelerimi rafine ettim ve burada onlar için alıcı bir kitle bulabileceğimi düşündüm.

Öncelikle, böyle bir tartışmaya nasıl değinileceği felsefesi üzerine: A ve B argümanlarını söyleyin. Her birinin bir önceliği, bir kesinti sırası ve sonucu vardır; ve sonuçlar farklı.

Bir argümanı kanıtlamanın en iyi yolu, yanlış olduğunu ispatlamaktan çıkarsamalarından birini geçersiz kılmaktır. Bu mümkün olsaydı, bir tartışma olmazdı. Bir diğeri de öncül ispat etmektir, ancak bunu doğrudan yapamazsınız. Birine neden inanmadığınızı iddia edebilirsiniz, ancak başkalarını inanmayı bırakmaya ikna edemediğiniz sürece bu hiçbir şeyi çözmez.

Dolaylı olarak yanlış bir kanıtı kanıtlamak için, ondan bir saçmalık veya öncülün çelişmesine yol açan alternatif bir kesinti sırası oluşturmalısınız. Hatalı yol, karşıt sonucun senin öncülünü ihlal ettiğini iddia etmektir. Bu, birinin yanlış olduğu anlamına gelir, ancak hangisi olduğunu göstermez.

+++++

Halfer'ın öncülü “yeni bilgi yok”. Bunların kesinti dizileri boştur - hiçbiri gerekli değildir. Pr (Heads | Awake) = Pr (Heads) = 1/2.

Üçlülerin (özellikle Elga) iki yeri vardır - Pr (H1 | Awake ve Pazartesi) = Pr (T1 | Awake ve Pazartesi) ve Pr (T1 | Awake ve Tails) = Pr (T2 | Awake ve Tails). Tartışılmaz bir kesinti dizisi daha sonra Pr (Heads | Awake) = 1/3 olur.

Susuzlukların hiçbir zaman yeni bilgiler olduğunu varsaymadığını - SB'nin uyanık olduğu zaman onların öncüllerinin var olan bilgilere dayandığını - "yeni" olup olmadığını - unutmayın. Ve daha önce hiç kimsenin üçte bir öncülün neden yanlış olduğunu, halfer sonucunu ihlal ettiği dışında tartışdığını görmedim. Yani, buçuklar listelediğim geçerli argümanların hiçbirini sağlamadılar. Sadece yanlış olanı.

Ancak Pr (Heads | Awake) = 1/2 ile başlayan bir kesinti dizisi ile "yeni bilgi yok" dan mümkün olan başka kesintiler de olabilir. Birincisi, Pr (Heads | Awake ve Monday) = 2/3 ve Pr (Tails | Awake ve Monday) = 1/3. Bu, susuzluğun öncülüne aykırıdır, ancak dediğim gibi, bu yanlış olanın öncülleri olabileceğinden yarıya sebep olmadığına yardımcı olur. İronik olarak, bu sonuç bir şey ispatlıyor - yarı açık öncülün kendisiyle çelişiyor. Pazar günü, SB diyor Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday), bu yüzden "Awake" bilgisini eklemek bu olasılıkları güncellemesine izin verdi. Bu yeni bir bilgidir.

Bu yüzden, yarıçap öncülünün doğru olamayacağını kanıtladım. Bu, susuzlukların haklı olduğu anlamına gelmez, ancak bu, çocukların hiçbir çelişki kanıtı sağlamadığı anlamına gelir.

+++++

Daha inandırıcı bulduğum başka bir argüman daha var. Tamamen orijinal değil, ancak doğru bakış açısının yeterince vurgulanıp vurgulanmadığından emin değilim. Deneyin bir varyasyonunu düşünün: SB her zaman iki günde bir uyanır; genellikle mavi renkte boyanmış bir odadadır, ancak Heads'ten sonra Salı günü kırmızı renkte boyanmış bir odada bulunur. Kendini mavi bir odada uyanık bulması durumunda, Başkanların olasılığının ne olduğunu söylemeli?

Hiç kimsenin ciddiyetle bunun bir şey olduğunu iddia edeceğini sanmıyorum 1/3. Şu anki durumuna tekabül edebilecek üç durum var, hepsi eşit derecede muhtemel ve sadece biri Başkanları içeriyor.

Belirgin nokta, bu versiyon ile orijinal arasında bir fark olmadığıdır. "Bildiği" - "yeni bilgileri" - H2 olmadığı. Nasıl olursa olsun, ya da EĞER , eğer yapabilseydi H2 olabileceğini bilirdi. Uygulanmadığını bildiği durumları gözlemleme kabiliyeti, uygulamadıklarını bildiği takdirde ilgisizdir.

Halfer öncülüne inanamıyorum. Bir gerçeğe dayanıyor - H2'yi gözlemleyemiyor - H2'nin olmadığını gözlemleyebildiği için önemli değil.

O yüzden umarım neden inferin öncülünün geçersiz olduğu konusunda ikna edici bir argüman sağlamışımdır. Yol boyunca, susuzluk sonucunun doğru olması gerektiğini gösterdiğimi biliyorum.

Olası uyanmaların üçte biri Kafa uyandırması ve olası uyanmaların üçte ikisi Tails uyanmasıdır. Ancak, prenseslerin yarısı (ya da her neyse) Heads prensesleri, bir yarısı Tails prensesleridir. Tails prensesleri, ayrı ayrı ve toplu olarak, Heads prenseslerinin iki katı kadar uyanma yaşarlar.

Prensesin bakış açısından, uyanma konusunda, üç olasılık vardır. İlk (ve sadece) kez uyanan bir Heads prenses ( ), ilk kez uyanan bir Tails prenses ( ) ya da ikinci bir kez uyanan bir kuyruk prenses ( ). Bu üç sonucun eşit derecede muhtemel olduğunu varsaymak için hiçbir sebep yok gibi görünüyor. Aksine , ve .$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

Ben Vineberg gerekçesini okumadım, ama onun adil bir bahis nasıl ulaştığını görebiliyorum düşünüyorum . Bir prenses uyandığı zaman , bir Heads prenses olduğuna dair bir bahis koyar, gerçekten de bir Heads prenses ise 1 $ , aksi takdirde 0 $ alır . Sonra bir Heads prenses , ve Tails prenses her oynadığında alacak . Tails prensesleri iki kez oynaması gerektiğinden ve prenseslerin yarısı Heads prensesleri olduğundan, beklenen getiri ve uygun fiyat .$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

Normalde bu, ihtimalin olduğuna dair kesin bir kanıt olacaktır , ancak olağan akıl yürütme bu durumda geçerli değildir: bahsi kaybetmeye mahkum olan prensesler, oyunu iki kez oynamak zorundadır, oysa kazanmayı hedefleyenler sadece bir kez oyna! Bu dengesizlik olasılıklar ve adil bahisler arasındaki normal ilişkiyi çözer.$1/3$

(Öte yandan, uyanma sürecine yardım etmek için atanmış bir teknisyenin gerçekten de yalnızca bir Baş Prenses'e atanma şansının üçte biri olabilir.)

Eğer uyanmış zaman, ne ölçüde olmalıdır için size yazı-tura sonucu Başkanları olduğuna inanıyoruz?

Eğer "ne demek istiyorsunuz gerektiği "? İnançlarımın sonuçları nelerdir? Böyle bir deneyde hiçbir şeye inanmazdım. Bu soru şu şekilde etiketlendi decision-theory, ancak bu deneyin tasarlanma şekli, bir karar vermeye teşvik edicem yok.

Deneyi farklı şekillerde değiştirebiliriz, böylece bir cevap vermeye meyilli hissediyorum. Örneğin, "Heads" veya "Tails" yüzünden uyanmış olup olmadığımı tahmin edebilirim ve verdiğim her doğru cevap için bir şeker kazanırdım . Bu durumda, açıkçası, “Tails” e karar verirdim, çünkü, tekrarlanan deneylerde, ortalama olarak deneme başına bir şeker kazanacağım: Vakaların% 50'sinde, atma “Tails” olacaktı. iki kere uyandırılırsan iki kere şeker kazanırdım. Diğer% 50'de ("Heads") hiçbir şey kazanmam. "Başkanlara" cevap vermeli miyim, deneme başına sadece yarım şeker kazanacaktım, çünkü cevaplamak için sadece bir şansım olacak ve zamanın% 50'sinde doğru olacağım. Eğer cevap için kendime adil bir para atarsam,$3/4$

Diğer bir olasılık da, tüm cevaplarımın doğru olduğu her deney için bir şekerleme kazanmak . Bu durumda, hangi sistematik cevabı verdiğim önemli değil , çünkü ortalama olarak, deney başına yarım şeker kazanacağım: Her zaman "Kafaları" yanıtlamaya karar verirsem, doğru Vakaların% 50'si ve aynısı "Tails" için de geçerli. Sadece kendime yazı tura atarsam, şekerin / kazanırdım: Araştırmaya katılanların% 50'sinde araştırmacılar "Kafaları" atarlardı ve% 50'sinde de "Kafalarını" atardım bana şeker. Vakaların diğer% 50'sinde, araştırmalar "Kuyrukları" attığında, "Kuyrukları" iki kez atmam gerekecek,$3/8$$1/4$$1/4$davaların, bu bana bir şeker sadece kazanacaktı .$1/8$

bu paradoks istatistiki olarak titiz bir şekilde nasıl çözülebilir? Bu mümkün mü?

" İstatistiksel olarak titiz bir yol " tanımlayın . Bir inançla ilgili soru , pratik bir öneme sahip değildir. Sadece eylemler önemlidir.

Soru belirsiz ve bu yüzden sadece bir paradoks gibi görünüyor . Soru şu şekilde ortaya çıkıyor:

Uyandığınızda, madalyonun fırlatılmasının sonucunun Başlar olduğuna ne kadar inanmalısınız?

Hangi bu soru ile karıştırılıyor:

Uyandığınızda, uyanma sebebinizin Heads'in ne dereceye kadar olduğuna inanmalısınız ?

İlk soruda olasılık 1 / 2'dir. İkinci soruda 1/3.

Sorun, ilk sorunun belirtilmiş olmasıdır, ancak ikinci soru, deney bağlamında ima edilir. Bilincini bilinçli olarak kabul edenler, bunun 1/3 olduğunu söylüyor. Soruyu okuyanlar kelimenin tam anlamıyla 1/2 diyor.

Kafası karışmış olanlar, hangi soruyu sorduklarından emin değil!

Bu örneği gerçekten beğendim ancak birkaç rahatsız edici dikkat dağınıklığına şaşırtmak için bir nokta olduğunu savunuyorum.

Rahatsız edici dikkat dağıtıcı şeylerden kaçınmak için, tartışmacı, sorunun makul bir şüphenin ötesinde (yeterli bir temsil olarak) açıkça ortaya konan ve talepleri göstermek için doğrulanabilir şekilde manipüle edilebilecek (nitelikli başkaları tarafından yeniden manipüle edilebilir) soyut diyagramatik bir gösterimini ayırt etmeye çalışmalıdır. Basit bir örnek olarak (soyut bir matematik) dikdörtgeni ve bunun iki üçgene yapılabileceğini iddia etmeyi düşünün.

Matematiksel bir dikdörtgenin temsili olarak serbest bir el dikdörtgeni çizin (çiziminizde dört açı tam olarak 180 dereceye eklenmeyecek ve bitişik çizgiler tam olarak eşit veya düz olmayacak, ancak gerçek bir dikdörtgeni temsil ettiğinden şüphe edilmeyecektir. ). Şimdi, bir başkasının köşesinden diğerine, başkalarının yapabileceği bir çizgiyi çizerek, kimsenin makul olarak şüphe edemeyeceği iki üçgenin bir gösterimini elde ederek değiştirin. Bu herhangi bir sorgulama çok saçma görünüyor olabilir, sadece öyle.

Burada yapmaya duyuyorum noktası olduğunu eğer bir ortak olasılık dağılımı olarak SB sorunun mantıklı bir şüphe temsil ötesinde almak ve bu temsilde deneyde gerçekleşen bir etkinlik üzerinde bir hale getiren - o şey öğrenmiş olup olmadığı iddialarını Bu olayla doğrulanabilir manipülasyon ile gösterilebilir ve (felsefi) tartışma veya sorgulama gerektirmez.

Şimdi girişimi daha iyi sunuyorum ve başarılı olduysam okuyucuların ayırt etmesi gerekecek. Deneylerde uyuma günü (DSIE), Pazartesi günkü bozuk para çıktı sonucu (CFOM) ve deneyde uyurken (WGSIE) uyanmış uyanık için ortak olasılıkları temsil etmek için bir olasılık ağacı kullanacağım. P (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM) terimleriyle çizeceğim (aslında sadece buraya yazınız).

DSIE ve CFOM'a olası bilinmeyenleri ve WGSIE'ye bilinenleri söylemek istiyorum, o zaman p (DSIE, CFOM) bir önceliktir ve p (WGSIE | DSIE, CFOM) bir veri modeli veya olabilir ve bu etiketlemeden Bayes teoremi uygulanır. mantıksal olarak aynı olan sadece koşullu olasılık.

Şimdi biliyoruz ki p (DSIE = Pzt) + p (DSIE = Salı) = 1 ve p (DSIE = Salı) = DS p (DSIE = Pzt)

p (DSIE = Pzt) = 2/3 ve p (DSIE = Salı) = 1/3.

Şimdi P (CFOM = H | DSIE = Pzt = = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Pzt) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Salı) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) Her zaman bire eşittir.

Önceki eşittir

P (DSIE = Pzt, CFOM = H) = 2/3 * 8 = 1/3

P (DSIE = Pzt, CFOM = T) = 2/3 * 8 = 1/3

P (DSIE = Salı, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Öyleyse CFOM = 1/3 H ve 2/3 T için marjinal ve deneyde uyurken size verilen posterior - aynı olacak (öğrenme olmadığından) - yani önceki 2/3 T

Tamam - nereye yanlış yaptım? Olasılık teorimi gözden geçirmem gerekir mi?

Bunun için basit bir açıklama, uyku güzelliğinin ikisinin Tails atmasından uyanmak için kullanabileceği 3 yol olduğudur. Bu yüzden olasılık, uyandığı her zaman bir kafa için 1/3 olmalıdır. Bir blog yayınında ana hatlarıyla belirttim

“Halfer” bakış açısına karşı ana argüman şudur: Bayesyen anlamda, SB her zaman hangi yeni bilgilere sahip olduğunu görmeye çalışır. Gerçekte, deneye katılmaya karar verdiği anda, uyandığında günlerin içinde olabileceği konusunda ek bilgiye sahiptir. Ya da başka bir deyişle, bilginin eksikliği (hafızayı silmek), delili kılan şeydir, zekice.

Birçok soru olarak, sorunun tam anlamına bağlıdır:

Uyandığınızda, madalyonun fırlatılmasının sonucunun Başlar olduğuna ne kadar inanmalısınız?

Eğer "atılan bir madalyonun Başkan olma şansı nedir?" Olarak yorumladıysanız, açıkçası cevap "oranların yarısı" dır.

Ancak, sorduğunuz şey (yorumuma göre) değil, “şu anki uyanışın bir Başkan tarafından neden olma şansı?” Dır. Bu durumda, açıkça uyanışların sadece üçte biri Başkanlardan kaynaklanır, bu nedenle en muhtemel cevap "Tails" dir.

Bu çok ilginç bir soru. Güzelim uyuyormuşum gibi cevabımı vereceğim. Anlamak için kilit noktalardan biri, deneyciye% 100 güvendiğimizdir.

1) Pazar gecesi, madalyonun ne kadar muhtemel olduğunu sorarsanız, size şunu söyleyeyim: .$\frac{1}{2}$

Beni uyandırır ve ask me zaman 2), ben size söyleyecektir .$\frac{1}{3}$

3) Bana bunun en son uyanış olduğunuzu söylediğinizde, hemen size şunu söyleyeceğim: .$\frac{1}{2}$

Açıkça (1) madalyonun adil olduğu gerçeğini izler. (2) uyandığınızda, kendi bakış açınıza göre eşit derecede muhtemel 3 durumdan birinde olduğunuz gerçeğini izler. Her biri, olasılıkla ortaya çıkabilir .$\frac{1}{2}$

Sonra (3), en son uyanışınız olduğu söylendiğinde, kaç olabileceğiniz durumların sayısı 2'ye düştüğünüzde (şimdi kuyruklar ve bu ilk olduğunuzda) uyanmış imkansız).

Bu problemi, SB'nin 'Heads' den sonra ' ' ve ' ' ile 'Tails' den sonra ' ' kez jenerik durum için .n m ≤ $m$$n$$m≤n$

Spesifik olarak, eğer para 'Heads' ise, o uyanmış olacak ...

gün 1
gün 2 gün
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$m$

... ve yazı tura 'Kuyruk' ise, o uyanacak ...

gün 1
gün 2 gün
⋯ $\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

Sonra bu özel soru için, ve . Varsayımlarda bulunmayacağım, sadece paranın adil olduğu bilgisini kullanacağım, bu yüzden uyanmadan önce SB uyandığında hangi gün olduğunu veya daha önce uyanıp uyanmadığını bilmiyor. Sadece adil bir madalyonun 'Heads' ve 'Tails' olası sonuçlarıyla atıldığını biliyor. Ayrıca, uyanışın '1. günde' veya '2. günde' veya veya ' ' olduğunu biliyor . 'Heads' muhtemel sonucu için, , , , adını ' ' olası sonuçları vardır ., n = 2 P ( lH , e bir d ler ) = P ( T bir i l s ) = 1 / 2. $m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$m, D 1 D 2 ... D $n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

D 2 D 3 ⋯ ⋯ D m$D_1$ : Bu uyanış '1. günde' oluyor : Bu uyanış '2. günde oluyor' : Bu uyanış '3. günde' oluyor : Bu uyanış ' ' gününde oluyor
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

Olası sonuç 'Tails' için, yukarıda belirtilen ' ' olası sonuçları da dahil olmak üzere ' ' olası sonuçları vardır .$n$$m$

D 2 D 3 ⋯ ⋯ D n$D_1$ : Bu uyanış '1. günde' oluyor : Bu uyanış '2. günde oluyor' : Bu uyanış '3. günde oluyor' : Bu uyanış 'gün ' oluyor
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

Yani olası sonuçlar var. Şimdi madalyonun 'Başları' inmiş olması , , , , olayları eşit derecede muhtemeldir. Bu nedenle ... Ayrıca, madalyonun 'Kuyrukları' , olayları , , , eşit derecede muhtemeldir. Bu nedenle ... Şimdi, herhangi bir olası olay için bir tam sayıdır veD 1 D 2 … D m P ( D 1 | H ) = P ( D 2 | H ) = … = P ( D m | H ) = $m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ için , bu ... Açıkçası $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

Şimdi olası olayların , , , olasılıklarını hesaplayalım.$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

için için$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

Şimdi SB'nin uyanık olması durumunda 'Heads' olasılığını hesaplayabiliriz. Yukarıda belirtildiği gibi, uyanma üzerine olası olaylar , , , . Bu nedenle olasılık ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Zaten cevabımız var, ama uyanış belli bir günde gerçekleşirse, 'Heads' veya 'Tails' olasılığını da hesaplayalım.

için$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

için$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Bunun "1/3" cevabına inananlar için bir cevap olmadığını biliyorum. Bu sadece koşullu olasılıkların basit bir kullanımıdır. Dolayısıyla, bu sorunun belirsiz olduğuna ve dolayısıyla bir paradoks olduğuna inanmıyorum. Rastgele deneyler hangileri ve bu deneylerin olası olayları belirsizleştirilerek okuyucu için kafa karıştırıcı olabilir.

Uyuyan güzelliği, daha önce kaç kez uyandığını hatırlayamadığı için, sadece bu sefer uyandığı verilen Başkanların ihtimaline bakmıyoruz, ama en azından bir kere uyanmış olması durumunda Heads'in olasılığı :

Yani elimizde: ve değil$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Dolayısıyla cevap% 50'dir (yarısı haklıdır) ve paradoks yoktur.

İnsanlar bu kadar kazaniyorsun kadar olduğundan daha fazla karmaşık!

Sigara statistially

Tüm doğuştan gelen cömertliğinde, Sleeping Beauty, uykusunda inancını şekillendirecek varsayımsal deneyi yapabilir:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Çıktı:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Böylece Uyuyan Güzelimiz kuyrukları tahmin etmenin daha iyi olduğuna inanacaktır.

Ve istatistiksel olarak?

Yukarıdaki algoritma a statistically rigorous wayne tahmin edeceğinizi belirlemek değildir . Bununla birlikte, kuyruklar söz konusu olduğunda, iki kez tahmin edeceği düşünüldüğü açıktır ki , bu nedenle kuyrukları tahmin etmek, doğru tahmin olabileceğinin iki katıdır. Bu, deneyin operasyonel prosedüründen sonra gelir.

Sık Olasılık

Frekanscı Olasılık , Fisher, Neyman ve (Egon) Pearson teorilerine dayanan bir istatistik kavramıdır.

Frekansçı Olasılıkta temel bir kavram, deneylerdeki işlemlerin en azından varsayımsal olarak sonsuz sayıda tekrarlanabilmesidir. Bu gibi her işlem bir sonuca yol açar .$n$$E_{n}$

Bir sonucun nedenle olasılık aşağıdaki şekilde tanımlanır:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

Bu, Sleeping Beauty'in başındaki tam olarak yaptığı şeydi: , HEADS'yi tahmin ederken haklı olması durumunda, yakınlaşır .$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

Ve inanıyor mu?

Bu yüzden nihayet akıl yürütmesine buraya geldiğinde , inancını temel almak için istatistiksel olarak sağlam zeminlere sahiptir . Fakat nihayetinde onları nasıl şekillendireceği, aslında ruhuna bağlıdır.

Sadece amacımı açıklamak için yeni bir yol ve 1/2 cevabında yanlış olanı düşündüm. Aynı jeton çevirisini kullanarak deneyin iki sürümünü aynı anda çalıştırın. Bir sürüm sadece orijinali gibidir. Diğer yandan, üç (veya dört - önemli değil) gönüllülere ihtiyaç var; Her birine farklı bir Heads-or-Tails ve Pazartesi veya Salı kombinasyonu atanır (yalnızca üç gönüllü kullanıyorsanız Heads-Tuesday kombinasyonu kullanılmaz). Bunları sırasıyla HM, HT, TM ve TT olarak etiketleyin (muhtemelen HT'yi ihmal eder).

İkinci versiyondaki bir gönüllü bu şekilde uyandırılırsa, HM, TM veya TT olarak etiketlenmiş olması muhtemel olduğunu biliyor. Başka bir deyişle, uyanık olduğu göz önüne alındığında HM olarak adlandırılma olasılığı 1/3'tür. Bozuk para ve gün bu atamaya karşılık geldiğinden, P (Heads | Awake) = 1/3 olduğunu önemsiz bir şekilde anlayabilir.

İlk versiyondaki gönüllü birden fazla kez uyandırılabilir. Ancak “bugün”, bu iki olası günden yalnızca biri olduğundan, uyanık olduğu zaman, ikinci versiyondaki uyanık gönüllü ile aynı bilgiye sahiptir. Mevcut durumunun , diğer gönüllülerden birine VE SADECE BİRine uygulanan etikete karşılık gelebileceğini biliyor . Yani kendisine “HM etiketli gönüllü veya HT ya da TT de uyanık” diyebilir. Her birinin eşit olması muhtemel olduğundan, madalyonun 1/3 şansı, HM olması ve 1/3 şansı vardır. kuyrukları."

İnsanların hata yapmasının nedeni, “deney sırasında bir süre uyanık olmakla“ “şimdi uyanık” tır. 1/2 cevap ya HM diğer tek uyanık gönüllü olan" kendi kendine söyleyerek orijinal SB geliyor ŞİMDİ veya TM ve TT olan İKİ uyanık DENEY boyunca bazen her durum eşit olasılıkla olduğundan, 1/2 şans var. o HM ve bu yüzden 1/2 şans madalyonun kuyrukları indi. " Bu bir hatadır çünkü şimdi sadece bir gönüllü daha uyanık.

İstatistiksel olarak kesin bir cevap vermekten ziyade, sorusunu biraz daha sezgisel kılan insanları ikna edecek şekilde biraz değiştirmek istiyorum.

Bazı araştırmacılar seni uyutmak istiyor. Adil bir madalyonun sırrına bağlı olarak, sizi bir kez uyandırır (Başlar) veya dokuz yüz doksan dokuz kez (Kuyruklar). Her uyanıştan sonra, sizi uyandırdığınızı unutan bir ilaçla tekrar uykuya döneceksiniz.

Uyandığınızda, madalyonun fırlatılmasının sonucunun Başlar olduğuna ne derece inanmalısınız?

Daha önce olduğu gibi aynı mantığı izleyerek, iki kamp olabilir -

• Halfers - madeni para atma adil ve SB bunu biliyor, bu yüzden yarım buçuk şansı olduğuna inanmalı.
• Binlerce - Deneme birçok kez tekrarlandıysa, madeni para atma bin defada yalnızca bir kez olacaktı, bu nedenle kafa şansının binde bir olduğuna inanması gerekir.

Asıl mesele olarak ifade edilen sorudan kaynaklanan karışıklığın bir kısmının sadece üç buçuk arasında bir fark olmadığı için ortaya çıktığını düşünüyorum. İnsanlar doğal olarak olasılıkları biraz bulanık kavramlar olarak düşünürler (özellikle de olasılık bir frekanstan ziyade bir inanç derecesi ise) ve üç buçuk arasındaki inanç dereceleri arasındaki farkı sezmek zordur.

Bununla birlikte, binde bir buçuk ile bir arasındaki fark çok daha visseraldir. Daha fazla insan için bu sorunun cevabının yarım değil, binde bir olduğu sezgisel olarak açık olacağını iddia ediyorum . Sorunun bu halini kullanarak argümanlarını savunan bir "halfer" görmek isterim.

Uyuyan güzel ya kafalar ya da kuyruklar söylemek zorunda olsaydı - kuyrukları seçerek beklenen 0-1 kayıp işlevini (her gün değerlendirilir) en aza indirirdi. Bununla birlikte, 0-1 kayıp fonksiyonu sadece her denemede değerlendirildiyse, başlık veya kuyruklar eşit derecede iyi olacaktır.

Üçler kazanır

Bir madeni para yerine, adil bir zar alalım:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Onlara her defasında 'zarın sonucunun 1 olduğuna ne kadar inanmalısınız?'

Halfers , zar olasılığının 1 = 1/6 olduğunu söyler . Üçlüler zar olasılığının = 1 olduğunu söyler

Fakat simülasyon açıkça sorunu çözüyor:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Ayrıca atma problemini simüle edebiliriz

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Görünen paradoks, olasılıkların mutlak olduğu sahte öncülünden kaynaklanmaktadır. Aslında, olasılıklar sayılan olayların tanımına göredir.

Makine öğrenmesi için bu anlamak için önemli bir nokta. Bir modele göre modellenmiş bir faktörün (örn., Bir ses parçası verilen doğru bir transkripsiyon), faktörlere ayrışması (çeşitli zamanlarda harflerin olasılığı, ) olasılığını hesaplamak isteyebiliriz. görünüyor değil bütün ses de ama bunun bir anda (bu hesaplar ). eşit olabilir çünkü P'ler farklı tanımlanmıştır . Farklı P'ler aynı denkleme giremez, ancak dikkatli analizler iki alan arasında dönüşüm yapmamızı sağlayabilir.$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

P (Heads) = 1/2 wrt dünyalar (veya doğumlar) ve P (Heads) = 1/3 wrt instantlar (veya uyanmalar) doğrudur, ancak uykuya konulduktan sonra Sleeping Beauty sadece instantlara ilişkin olasılıkları hesaplayabilir Çünkü hafızasının silindiğini biliyor. (Uyumadan önce, dünyalar açısından hesaplardı.)

Sanırım hata "susuzluktan" geliyor ve bunun sebebi "uyanışların" eşit derecede muhtemel olmamasıdır - uyandıysanız "ilk defa uyanmanızın daha muhtemel" - 75 Aslında% şans.

Bu, "3 sonucu" (başlıklar1, kuyruklar1, kuyruklar2) eşit olarak sayamazsınız anlamına gelir.

Bunun aynı zamanda olayı gibi göründüğünü düşünüyorum, burada SB'nin uyandırılması önerisidir. Bir şeyi iki kez doğru söylemek, bir kez söylemek ile aynı şeydir. SB'ye yeni veriler verilmemiştir, çünkü bir öncekinden elde edilen tahmin . Bunu koymanın diğer yolları: ve . Bunun anlamı$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

Matematik @ pit847 tarafından verilen cevapta açıkça gösterilmiştir, bu yüzden benimkide tekrar etmeyeceğim.

ancak, her uyanışta sonucu tahmin etmek için dolar bahis cinsinden ve haklıysanız size dolar verilir . Bu durumda, her zaman kuyrukları tahmin etmelisiniz, çünkü bu sonuç "ağırlıklı" dır. Madeni para kuyrukları olsaydı, iki kez bahis oynayacaksınız. Böylece beklenen kar (aramak bu ) kafaları tahmin ise olan ve benzer şekilde Kuyrukları tahmin etmek için $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

bu yüzden tahmin kuyruklarından ortalama olarak bir ekstra kazanırsınız . "adil bahis" miktarı$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

Şimdi yukarıdakileri tekrarlarsak, ancak yarım yerine üçüncü kullanırsak, ve . Bu yüzden hala yazı tahmin etmenin daha iyi bir strateji olduğunu düşünüyoruz. Ayrıca, "adil bahis" tutarı$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

Şimdi “susuzlukların” olduğu bir bahis alması gerektiğini söyleyebiliriz . Ancak "halfers" bu bahsi kabul etmezdi. @Ytsen de Boer test edebileceğimiz bir simülasyona sahip. Biz kafaları ve kuyrukları, böylece bahis kuyrukları size verecek kazandı bahisler içinde. Fakat ... oynamak zorunda net zararı olan - bu alınacağı zamanları - bu yüzden "thirders" kaybetmek! Ayrıca, bunun aslında bahis kuyrukları için biraz olumlu bir sonuç olduğuna dikkat edin.$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Uyuyan Güzel uyandığında, şunu bilir:

Adil bir jeton sonucu verecek şekilde içine atıldığı ; eğer ise, o zaman bu sonraki uyanmadır; ve eğer ise, bu sonraki iki uyanıştan biridir.$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

Bu bilgiyi . Başka hiçbir şey sorusuyla alakalı değil, ki:$\mathcal{I}$

Nedir$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

Bu, onları çıkarmanın aksine, olasılıkların belirlenmesi meselesidir. Eğer uyanma sayısı, o eşdeğerdir $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

mantıksal olarak eşittir

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

Uyuyan Güzel'in daha fazla bilgisi yok. Yetersiz sebep ilkesi gereği , her kesime olasılığını yükümlüdür . Bu nedenle, .$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

Birkaç saniye sonra, "adil jeton" sadece "jeton çevirme sonucu" için iki olasılık olduğu anlamına geldiği anlamına geldiğinde önceki cevap geçerlidir, veya . Ama muhtemelen ifade "adil jeton" daha sadık yorumlama doğrudan belirtir olmasıdır , bunun üzerine Cevap problem beyanında verilmiştir.$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

Bir olasılık gereken bir şeydir, çünkü benim görünümünde, ancak, bu tür ifadeleri, teknik olarak kabul edilemez olduğu çalıştı öncül ve buna bağlı önermelerden. "Adil bir paranın sırrı atma" ibaresi şu soruyu gündeme getiriyor: Sleeping Beauty bunun adil olduğunu nasıl biliyor? Bunu belirleyen hangi bilgilere sahip? Normalde ideal bir madalyonun adaletli olması, bilgi olarak eşdeğer olan iki olasılık olduğu gerçeğinden hesaplanır. Düğme çevirme uyanma faktörü ile karıştırıldığında, bilgi olarak eşdeğer üç olasılık elde ediyoruz. Esasen üç taraflı ideal bir madeni para, bu yüzden yukarıdaki çözüme ulaşıyoruz.

Partiye geç kaldığımı biliyorum.

Bu soru, ödülün hangi 3 kapının arkasında olduğunu tahmin etmeniz istenen Monty Hall sorununa çok benziyor. 1 numaralı kapıyı seçtiğinizi söyleyin. Ardından sunum yapan kişi (ödülün nerede olduğunu bilen), Oyun No.3'ü Oyundan Çıkarır ve tahmininizin Kapı No1'den Kapı No2'ye geçmesini isteyip istemediğinizi sorar veya ilk tahmininizle devam eder. Hikaye devam ediyor, daima değişmelisin, çünkü ödülün Kapı No2'de olması için daha yüksek bir olasılık var. İnsanlar genellikle bu noktada şaşırıyorlar ve ödülün iki kapıda olma ihtimalinin hala 1 / 3'ü olduğuna işaret ediyorlar. Ama mesele bu değil. Soru, ilk olasılık ne değildi?asıl soru, ilk tahmininizin doğru olma ihtimali nedir, vs yanlış anlama şansınız. Bu durumda, değiştirmelisin, çünkü yanlış anlama şansın 2/3.

Monty Hall probleminde olduğu gibi, bir milyon kapıya 3 kapı yaparsak işler daha da netleşir. Milyonlarca kapı varsa ve Kapı No1'i seçtiyseniz ve sunucu kapıları 3'ten bir milyona kapatır, sadece Kapı No1 ve Kapı No2'yi oyunda bırakırsanız, değiştirir misiniz? Tabii ki istersin! İlk etapta No1 Kapısını doğru seçmiş olma ihtimaliniz milyonda 1 idi. Şansın yoktu.

Başka bir deyişle, akıl yürütmedeki hata, bir eylem gerçekleştirme olasılığının, ikisi arasındaki bağlam onları eşdeğer ifadeler yapmadığında, gerçekleştirilen bir eylem olasılığına eşit olduğuna inanmaktan kaynaklanır. Farklı şekilde ifade edilen, sorunun bağlamına ve koşullarına bağlı olarak, 'doğru seçme' olasılığı 'doğru seçme' ihtimaliyle aynı olmayabilir.

Benzer şekilde uyuyan güzellik sorunu. Yazılarda 2 kez uyanmamış olsaydınız, 1 milyon kez uyandırdıysanız, "şu an yaşadığım şu andaki uyanışın ortasında olanlardan biri olma olasılığı çok daha fazla. Tails atışından gelen milyonlarca uyanış çizgisi, benden Başlardan kaynaklanan tek uyanışa çarptığımda benden. Adil bir madeni para olduğu argümanı burada hiçbir şey ile ilgisi yoktur. Adil yazı turağı, size yalnızca "kafa atma" şansının ne olduğunu, yani bir yazıyı ilk kez attığınızda, bir milyon kere bir kez karşı uyanma olasılığını gösterir. Öyleyse, denemeden önce SB'ye, her atıştan önce bir ya da milyon kez mi uyuyacağını seçmesini isterseniz, 'doğru seçim' olasılığı gerçekten% 50'dir.

Fakat bu noktadan sonra, üst üste yapılan deneyleri ve SB'nin şu anda hangi deneyi yaptığını söylemediği gerçeğini varsayarak, uyandığı herhangi bir noktada, “Atıştırılma” olasılığının çok daha düşük olması nedeniyle milyon uyanıştan birinden, bir taneden daha uyandım.

Bunun, problemin ifadesine göre ardışık deneyler gerektirdiğine dikkat edin. SB, denemenin başından itibaren yalnızca tek bir deney olacağına dair güvence verirse (yani sadece bir toin coss), o zaman inancı% 50'ye geri döner, çünkü zamanın herhangi bir noktasında, uyanmış olabileceği gerçeği daha önce birçok kez önemsiz hale gelir. Başka bir deyişle, bu bağlamda, 'doğru seçim' ve 'doğru seçim yapmış olma' olasılığı tekrar eşdeğer olur.

Ayrıca, “bahis” kullanan herhangi bir tekrarlamanın da içeriği tamamen değiştiren farklı sorular olduğunu unutmayın. Örneğin, tek bir deneyde bile, doğru tahmin edildiğinde her seferinde para kazanacak olsaydın, açıkçası kuyruklara gidecektin; ancak bunun sebebi beklenen ödülün daha yüksek olmasıdır, çünkü kuyrukların olasılığı kafalardan farklı değildir. Bu nedenle, bahsi ortaya çıkaran herhangi bir 'çözüm' sadece sorunu çok özel bir yorumlara indirgemeleri durumunda geçerlidir.

SB uyumadan önce, bir sonraki jeton çevirisinin baş olma şansının 1/2 olacağına inanıyor. Uyandıktan sonra, en son jetonlu çevirinin kafalar olma şansının 1/3 olduğuna inanıyor. Bu olaylar aynı değildir çünkü uyanışla madeni para basmaları arasında bire bir yazışma yoktur.

Aşağıdaki çözüme ne dersiniz:

Asıl mesele madalyonun "kafaları" yaklaşma ihtimalini değerlendirmektir. Öyleyse, Uyuyan Güzel pazartesi uyandıysa ve hangi gün olduğunu bilseydi, gerçekten de "kafa" olasılığının% 50 olduğuna inanması gerekirdi.

Ancak, Salı günü uyanacak ve hangi gün olduğunu biliyordu, madalyonun başını açma olasılığı sıfır olurdu.

Bu nedenle, hangi günün olduğu bilgisi, “kafaların” olasılığını değiştiren önemli bilgiler ekler.

Ancak Uyuyan Güzel, uyandığı zaman hangi gün olduğunu bilmiyor. Dolayısıyla, uyanma olasılığını sırasıyla Pazartesi ya da Salı günü belirlememiz gerekir.

Öncelikle, salı olma olasılığını düşünelim. Deneyci yazı tura attığında, sonuç hangi deneyin senaryosunu izleyeceğine karar verir. Başkan ise, SB sadece Pazartesi günü uyandırılır. Kuyrukluysa, hem pazartesi hem de salı günü uyandırılır. Bu yollardan birini alan deneyin olasılıkları açıkça 50 / 50'dir. Şimdi, eğer “iki uyanış” dalındaysak, SB'nin uyandığı zaman salı ya da pazartesi olma olasılığı% 50'dir. Böylece SB'nin 0,5 * 0,5 = 0,25 olarak uyanması durumunda Salı olma ihtimalinin toplamını hesaplayabiliriz. Açıkçası o zaman, o uyandığında Pazartesi olması olasılığı 1-0.25 = 0.75

SB Salı günü uyandığını bilseydi, madalyonun "kafaları" açma olasılığı sıfır olurdu.

Ancak, Pazartesi günü uyandığını bilseydi, madalyonun "kafaları" açma olasılığı% 50 olurdu. Ancak biliyoruz ki, Pazartesi olma olasılığı 0.75. Yani, madalyonun "kafa" yla ortaya çıkan toplam olasılığını bulmak için, 0.75 * 0.5 = 0.375 ile çarpmamız gerekir.

Cevap şu ki, madalyonun "kafa" çıkması ihtimali% 37.5

Yukarıdaki sadece bir öneri. Lütfen, nedenime göre kusurlar görürseniz işaret edin.