Var (X) biliniyor, Var (1 / X) nasıl hesaplanır?

Yalnızca , nasıl hesaplayabilirim ? $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

dağılımı hakkında herhangi bir bilgim yok , bu yüzden dönüşümü veya olasılık dağılımını kullanan başka yöntemleri kullanamıyorum . $X$ $X$

distributions variance data-transformation

— BİR FARE
kaynak

Ben düşünüyorum bu size yardımcı olabilir.

— Christoph_J

Bu imkansız.

Rastgele değişkenlerin dizisini düşünün ; $X_n$

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

Sonra:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

Ancak sonsuza giderken sıfıra yaklaşır: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

Bu örnek, bu gerçeği kullanan tercümelerinden altında değişmez olduğu , ancak değildir. $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Ancak olduğunu bile hesaplayamayız : Let $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

Daha sonra , sonsuza giderken 1'e yaklaşır, ancak için tüm . $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
kaynak

Dönüştürülmüş bir rasgele değişkenin düşük dereceli momentlerinin yaklaşık değerini bulmak için Taylor serisini kullanabilirsiniz. Eğer dağılım ortalama etrafında (belirli bir anlamda) 'sıkı' ise, yaklaşım oldukça iyi olabilir.

Yani mesela

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

yani

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

genellikle sadece ilk dönem alınır

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

Bu durumda (hata yapmadığımı varsayarak), , . $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Vikipedi: Rasgele değişkenlerin fonksiyon anları için Taylor açılımları

---

Bunu açıklamak için bazı örnekler. R'de biri ortalama hakkında 'çok sıkı olmayan' bir dağılım ve biraz daha sıkı olan iki (gama dağıtılmış) örnek oluşturacağım.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

Yaklaşıklık, varyansının yakın olması gerektiğini düşündürmektedir. $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Cebirsel hesaplama, gerçek nüfus varyansının $1/648 \approx 0.00154$

Şimdi daha sıkı olan için:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

Yaklaşıklık, varyansının yakın olması gerektiğini düşündürmektedir. $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Cebirsel hesaplama, popülasyon varyansının . $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Bu durumda, oldukça zayıf bir hipotezin, için hiçbir ortalama (nereden varyans) olmayacağı, yani cevaptaki yaklaşımın oldukça yanıltıcı olacağı sonucuna yol açtığını unutmayın. :-) Örnek bir hipotez, sıfır etrafında bir aralıkta sürekli olan bir yoğunluğuna ve . Sonuç daha sonra yoğunluk bir aralıkta sıfırdan uzaklaşacağı için . Yeni verilen hipotez elbette mümkün olan en zayıf şey değil.

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— kardinal

Taylor serisi argümanının başarısız olmasının nedeni, olarak kalan (hata) terimini gizlemesi, bu durumda ve bu civarında kötü davranıyor .

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— kardinal

Gerçekten 0 civarında yoğunluğun davranışı konusunda dikkatli olunmalıdır. Yukarıdaki gamma örneklerinde, ters dağılımın, sınırlı bir ortalamanın olması ( , tersine çevirdiğimiz gama). İki örnekte ve . Buna rağmen (tersine çevirmek için "güzel" dağılımlarla) daha yüksek terimlerin ihmal edilmesi fark edilebilir bir önyargıya neden olabilir.

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b

bu, karşılıklı standart normal dağılım yerine karşılıklı kaydırılmış normal dağılımın doğru yönünde görünüyor: en.wikipedia.org/wiki/…

— Felipe G. Nievinski