Ortalama mutlak sapma, standart sapmadan daha küçüktür

Genel mutlak sapmayı standart sapma ile genel olarak bu tanım ile karşılaştırmak istiyorum:

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

nerede $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$ .

Bu doğru mu $MAD \le SD$ herkes için $\{x_i\}^n_1$ ?

İçin yanlış $n=2$ , çünkü $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ , her biri için $x, y \ge 0$ .

Bunu göstermek kolaydır:

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— Lisbeth
kaynak

Yanıtlar:

Hayır, genel olarak bu doğru değil.

Buna bakmanın basit bir yolu simüle etmektir. Genellikle bir counterexample bulursa durur sonsuz bir döngü kesmek. Uzun bir süre devam ederse, iddianın doğru olup olmadığını düşünmeye başlarım. Mevcut durumda, R kodum şöyle görünür:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

Bu karşı örneği verir:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— Stephan Kolassa
kaynak

Bu simülasyonu kullanmanın akıllıca bir yolu! Beni, Jensen'in eşitsizliği nedeniyle sonucun her zaman tuttuğunu yanlış cevaplamaktan kurtardı ...

n - 1

$n-1$ onun yerine

n

$n$

— CloseToC

Ancak bence karşılaştırılan bir cevap

s_{n}

$s_n$ ile ortalama sapmaya

n

$n$ payda, bence yararlı olur, çünkü karşı örneğe bağlam verir.

— Glen_b

İşte daha matematiksel bir yaklaşım. İlk olarak, değişkenlerin değişmesiyle ortalamanın sıfır olduğunu varsayabiliriz. Kesinlikle bir karşı örnek bulma açısından bu kabul edilebilir. Yani, $\mu = 0$ , önerilen eşitsizliğin her iki tarafının karesini almak ve (n-1) ile çarpmak, önerilen eşitsizliğe bırakılır -

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

Balık gibi görünüyor. (n-1) her şeyi telafi etmek için yeterli değil $|x_i| |x_j|$ şartları. Özellikle tüm $x_i$ mutlak değerde aynıdır. İlk tahminim n = 4 ve $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ . Bu yol açar $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$ . Bu tür şeylerin eşitsizliklerle ilgilenen insanlar tarafından iyi bilindiğini düşünüyorum.

— meh
kaynak

Herkes için

n

$n$ inşaatınızı kullanabilirsiniz (her

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$ ) ve

M A D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$ bu yüzden doğru olamaz

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$ hepsi için

x_{i}

$x_i$ .

— Sextus Empiricus

Tüm tuhaflıklar için

n

$n$ inşaatımı kullanabilirsin (

x_{0} = - 2

$x_0=-2$ ,

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$ ve sonra her biri

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$ artı artı eksi ile). Sonra sende var

M A D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$ eşitsizlikle çarpılarak açıklanabilir

n - 1

$n-1$ ve kareler

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— Sextus Empiricus

Ama bu doğru değil

M A D > S D

$MAD > SD$ mümkün olan her şey için

x_{i}

$x_i$ . Şartlar

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$ (Orada

n^{2}

$n^2$ tarafından) telafi edilebilir

(n - 1)

$(n-1)$ yeterli sayıda

x_{i}

$x_i$ küçükler.

— Sextus Empiricus

@Martijn Söylediğim tek şey, küçük bir cebir yapmanın karşıt örnekler bulmanın yolunu göstermesiydi. Hiçbir şekilde düşünmüyorum ve düşündüğüm izlenimi bile verdiğimi sanmıyorum, eşitsizliğin her zaman yanlış veya doğru olduğunu düşünmüyorum.

— meh

"(N-1) telafi etmek için yeterli değil ..." yorumu benim için biraz zor geldi. Bazı durumlarda yeterli olabilir.

— Sextus Empiricus