Ortalama ve varyansın bağımsız olduğu normal dışındaki dağılımlar

Ortalamanın ve varyansın birbirinden bağımsız olduğu normalin dışında herhangi bir dağılım olup olmadığını merak ediyordum (veya başka bir deyişle varyansın ortalamanın bir fonksiyonu olmadığı durumlarda).

distributions

— Wolfgang
kaynak

Soruyu doğru anladığımdan emin değilim. Ortalamanın ve varyansın tamamen belirttiği normalin dışında herhangi bir dağılım olup olmadığını mı soruyorsunuz? Bir anlamda varyans, ortalamanın etrafındaki dağılımın bir ölçüsü olduğu için ortalamanın bir işlevidir, ancak sanırım aklınızdaki şey bu değil.

örnek ortalama ve örnek varyans bağımsızdır. İyi soru ! belki bir gauss rastgele değişkeni yansıtmak bağımsızlığını koruyacaktır?

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— Robin Girard

Srikant haklı. Eğer soru "örnek ortalama ve varyans" ı soruyorsa, cevap "hayır" dır. Soru popülasyon ortalaması ve varyansı ile ilgiliyse, cevap evet; David aşağıda iyi örnekler veriyor.

Sadece netleştirmek için, demek istediğim bu. Normal dağılım için, ortalama ve varyans tamamen karakterize eden ve arasında bir fonksiyonu değildir

. Diğer birçok dağıtım için, öyle değil. Örneğin, binom dağılımı için, ortalama

varyansına sahibiz , bu nedenle varyans, ortalamanın bir fonksiyonudur. Diğer örnekler , ortalamanın

ve varyansın

olduğu ve değişkenlerin gerçekte

olduğu,

(ölçek) ve

(şekil) parametreleriyle gama dağılımıdır.

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$ .

— Wolfgang

Tercih ettiğiniz cevap olarak kontrol tepkisi nedeniyle, o zaman, sorunuzu değiştirerek düşünün değil o durgunluk (diğeri yapar) olarak soruya cevap. Şu anda "bağımsız" kelimesini kendine özgü bir şekilde kullanıyorsun. Gamma ile olan örneğiniz bunu gösteriyor: Kişi sadece Gamma'yı ortalama (mu) ve varyans (sigma) açısından yeniden değerlendirebilir, çünkü theta = sigma / mu ve kappa = mu ^ 2 / sigma'yı kurtarabiliriz. Başka bir deyişle, parametrelerin işlevsel "bağımsızlığı" genellikle anlamsızdır (tek parametreli aileler hariç).

— whuber

Yanıtlar:

Not: Lütfen cevapları @G yazınız. Jay Kerns ve Carlin ve Lewis 1996 ya da rastgele bir değişkenin beklenen değeri ve ikinci anı olarak ortalama ve varyansın hesaplanmasında arka plan için favori olasılık referansınızı görün.

Carlin ve Lewis (1996) 'daki Ek A'nın hızlı bir taraması, normalde benzer olan aşağıdaki dağılımları sağlar; aynı dağılım parametrelerinin ortalama ve varyansın hesaplanmasında kullanılmamasını sağlar. @Robin tarafından işaret edildiği gibi, bir numuneden parametre tahminleri hesaplanırken, sigma hesaplamak için örnek ortalama gerekir.

Çok Değişkenli Normal

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t ve çok değişkenli t:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Çifte üstel:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Cauchy: Bazı niteliklerle Cauchy'nin ortalama ve varyansının bağımlı olmadığı söylenebilir.

$E(X)$ ve mevcut değil $Var(X)$

Referans

Carlin, Bradley P. ve Thomas A. Louis. 1996. Bayes ve Ampirik bayes Veri Analizi Yöntemleri, 2. baskı. Chapman ve Salon / CRC, New York

— David LeBauer
kaynak

Herhangi bir yer ölçeğinde ailede ortalama ve varyans bu şekilde fonksiyonel olarak bağımsız olacaktır!

— whuber

David, çifte üstel mükemmel bir örnektir. Teşekkürler! Bunu düşünmedim. T-dağılımı da iyi bir örnek, ancak E (X) = 0 ve Var (X) = v / (v-2) değil mi? Yoksa Carlin ve ark. (1996), ortalama olarak kaydırılan ve sigma ^ 2 tarafından ölçeklendirilen t-dağılımının genelleştirilmiş bir versiyonunu tanımlar.

— Wolfgang

Haklısın, t-dağılımının sık sık ortalama = 0 ve varyans = 1 ile nitelendirildiği görülüyor, ancak Carlin ve Louis tarafından sağlanan t için genel pdf açıkça hem sigma hem de muma içerir; nu parametresi normal ve t arasındaki farkı belirtir.

— David LeBauer,

Aslında, cevap "hayır" dır. Örneklem ortalama ve varyansının bağımsızlığı normal dağılımını karakterize eder. Bu, Eugene Lukacs tarafından "Normal Dağılımın Karakterizasyonu", Matematiksel İstatistiklerin Annals, Vol. 13, No. 1 (Mar. 1942), sayfa 91-93.

Bunu bilmiyordum ama Feller, "Olasılık Teorisine Giriş ve Uygulamaları, Cilt II" (1966, s. 86) RC Geary'nin de bunu kanıtladığını söylüyor.

@onestop Yaşımın talihsiz bir eseri olduğunu düşünüyorum. Feller'in kitaplarının, olasılıkların nasıl yapıldığını - dünya çapında bir devrim yarattığını söylemek bir ifade değildir. Modern gösterimizin büyük bir kısmı onun yüzünden. On yıllardır, onun kitapları vardı çalışmaya olasılık kitapları. Belki de yine de olmalılar. BTW: Kitaplarını duymayanların unvanını ekledim.

Diğer funy karakterizasyonu hakkında bir soru sordum

— robin

Jay, Lukacs tarafından yayınlanan makaleye referans için teşekkürler, örnek ortalamasının ve varyansın örnekleme dağılımlarının sadece normal dağılım için bağımsız olduğunu güzel bir şekilde gösteriyor. İkinci merkezi an için ise, ilk anın bir fonksiyonu olmadığı bazı dağıtımlar var (David bazı güzel örnekler verdi).

— Wolfgang

Geary, RC (1936), “Normal Olmayan Örnekler İçin 'Öğrenci' Oranının Dağılımı,” Kraliyet İstatistik Kurumu Dergisi, Ek. 3, 178-184.

— vqv