Hangisi, normal dağılmış rastgele değişkenlerin en büyüğüdür?

14

Rastgele değişkenlerim var . ortalama ve varyans ile normal dağılıma sahiptir . RVS normal ortalama ile dağıtılan ve varyans . Her şey birbirinden bağımsızdır. $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

Let olayı belirtmek , bunlardan en büyüğüdür yani . yi hesaplamak veya tahmin etmek istiyorum . I bir ifade arıyorum bir fonksiyonu olarak, ya da makul bir tahmini veya yaklaşık . $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

Benim uygulamada, sabit ( ) ve ben yapan için en küçük değeri bulmak istiyorum , ama ben de genel soru merak ediyorum. $n$ $n=61$ $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
kaynak

ne kadar büyük ? Büyük örnek teorisine dayanan bazı iyi asimtotik ifadeler bulunmalıdır.

n

$n$

— whuber

@whuber, teşekkürler! Soruyu düzenledim: benim durumumda

. Bile

durumunda iyi asimptotik tahminler varsa, büyük olarak saymak büyük yeterli değildir

büyük, ilginç olurdu.

n = 61

$n=61$

n = 61

$n=61$

n

$n$

— DW

5

Sayısal entegrasyon kullanarak,

.

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

14

Bu tür olasılıklarının hesabı adı altında iletişim mühendisleri tarafından kapsamlı olarak araştırılmıştır -ary ortogonal sinyal $M$ modeli bu biri burada eşit olasılıkla Ortogonal sinyaller iletilmekte olan eşit enerji ve incelenerek iletildiği bir karar teşebbüs alıcı sinyallerle eşleşen filtrelerinin çıkışları . İletilen sinyalin kimliğine bağlı olarak, eşleşen filtrelerin örnek çıktıları (koşullu olarak) bağımsız birim varyans normal rasgele değişkenlerdir. İletilen sinyale eşleşen filtrenin örnek çıktısı bir $M$ $M$ $N(\mu,1)$ tüm diğer filtrelerin çıktıları rasgele değişkenlerdir. $N(0,1)$

Koşullu (mevcut bağlamda olaydır doğru karar olasılığı koşuluyla) olan $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$ burada, standart normal rasgele değişkenin kümülatif olasılık dağılımıdır ve bu nedenle koşulsuz olasılık

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

burada

standart normal yoğunluk işlevidir. Bu integralin değeri için sayısal olarak değerlendirilmesi gereken kapalı biçimli bir ifade yoktur. Karar hata olduğunu - - Mühendisler de tamamlayıcı etkinlik ile ilgilenen, ancak bu hesaplamak için değil gibi

için bu

integralinin çok dikkatli bir şekilde değerlendirilmesini gerektirir

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$ birçok önemli basamakın doğruluğuna ve bu değerlendirme hem zor hem de zaman alıcıdır. Bunun yerine,

için integral

1 - P (C)

$1-P(C)$

Bu integral sayısal olarak değerlendirmek daha kolaydır ve bir fonksiyonu olarak değeri

grafikle ve tablo halinde gösterilmiştir (gerçi ne yazık ki sadece

) Bölüm 5'teTelekomünikasyon Sistemleri MühendisliğiLindsey ve Simon, Prentice-Hall 1973, 1991 Dover Press tarafından Alternatif olarak, mühendislerbirleşmeye bağlıveya Bonferroni eşitsizliğini

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

burada

, tamamlayıcı kümülatif normal dağılım fonksiyonudur.

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

Bağlı birlik kaynaktan, istenilen değer görüyoruz için yukarıda sınırlanmaktadır $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

$M$

— Dilip Sarwate
kaynak

4

Resmi bir cevap:

$N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

$X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Özel uygulamanız için bununla izlenebilir bir şekilde ilgilenmek için çeşitli yaklaşımlara bakmanız gerekebilir.

— Dave
kaynak

6

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$