Rastgele değişkenler yalnızca ve sıraları korelasyonluysa ilişkili midir?

sonlu saniye momentleri olan sürekli rasgele değişkenler olduğunu varsayın . Spearman sıra korelasyon katsayısı popülasyon versiyonu , olasılık integrallerinin Pearson ürün-moment katsayısı ρ, ve ; burada , ve , yani, $X,Y$ $ρ_s$ $F_X(X)$ $F_Y(Y)$ $F_X,F_Y$ $X$ $Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ .

Acaba birisinin bunu genel olarak

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

Yani, ancak saflar arasında doğrusal korelasyonumuz varsa doğrusal korelasyonumuz var mı?

Güncelleme: Yorumlarda neden iki örnek verilmiştir?

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

$X$ ve $Y$ aynı dağılıma sahip olsalar bile genel olarak doğru değildir . Yani soru şu şekilde yeniden biçimlendirilmelidir:

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

$X$ ve $Y$ aynı dağılıma sahipse, bunun doğru / yanlış olup olmadığı da benim için büyük ilgi görüyor.

(Not: $X$ ve $Y$ , çeyreğe pozitif olarak bağlıysa , yani, $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ Hoeffding'in kovaryans formülü $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ , $ρ(X,Y)>0$ ve $ρ(F(X),F(Y))>0$ .)

correlation pearson-r spearman-rho

— FSpanhel
kaynak

İpucu: Bir cevap almak için, keyfi bir monotonik dönüşüm altında her korelasyon ölçüsüne ne olduğunu düşünün.

— kardinal

@cardinal: iyi, mızrakçı rho kesinlikle monotonik dönüşümler altında değişmez, klasik lineer korelasyon katsayısı değişecek, ama belirsiz (?) ... özellikle lineer korelasyon değerinin değerini sıfırdan değiştirip değiştiremeyeceğini bilmiyorum kesinlikle monotonik dönüşümler altında sıfır değil ... ama belki de fikrinizi kaçırdım?

— FSpanhel

Doğru yoldasın! Let ve . Şimdi, bu ikisinin kesinlikle monotonik dönüşümlerine bakın. Açıkça kontrol etmedim, ancak çalışması muhtemeldir.

X \sim N (0, 1)

$X \sim \mathcal{N}(0,1)$

Y = X^{2}

$Y = X^2$

g (z) = \exp (- z / 2)

$g(z) = \exp(-z/2)$

— kardinal

Haklısın. İkinci örnek istediğim / şüphelendiğim gibi çalışmıyor. Bununla birlikte, böyle bir karşı numunenin nasıl oluşturulacağına dair genel prensip hala geçerlidir. Ve evet, bu mesele kopulalarla sıkı sıkıya bağlanabilir. :-)

— kardinal

Karşı örneklerinizi onayladıktan sonra, lütfen bu gönderiye bir cevap olarak yazmayı düşünün. Onu onaylamaktan mutluluk duyacağım. Şerefe.

— kardinal

Her iki korelasyon da sıfır olmak zorunda değildir, çünkü bunlar - özellikle de aşırı veriler - verileri farklı şekilde 'ağırlıklandırır'. Ben sadece örneklerle oynayacağım, fakat benzer örnekler iki değişkenli dağılımlar / copulalarla yapılabilir.

1. Spearman korelasyon 0 Pearson korelasyon 0 anlamına gelmez :

Soruda belirtildiği gibi, yorumlarda örnekler vardır, ancak temel yapı "Spearman korelasyonunun 0 olduğu bir durum oluşturmak, sonra aşırı bir nokta almak ve Spearman korelasyonunu değiştirmeden daha aşırı yapmak" dır.

Yorumlardaki örnekler bunu çok iyi kapsıyor, ancak burada daha 'rastgele' bir örnekle oynayacağım. Bu nedenle, inşaat ile hem Spearman hem de Pearson korelasyonu 0 olan bu verileri (R cinsinden) düşünün:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Şimdi y [12] 'ye 1000 ekleyin ve x [9]' dan 0.6 çıkarın; Spearman korelasyonu değişmemiştir, ancak Pearson korelasyonu şimdi 0.1841'dir:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Bu Pearson korelasyonu üzerinde güçlü bir önem istiyorsanız, tüm örneği birkaç kez çoğaltın.)

2. Pearson korelasyon 0 Spearman korelasyon 0 anlamına gelmez :

İşte sıfır Pearson korelasyonu ancak sıfır olmayan Spearman korelasyonu ile iki örnek (ve yine, bu Spearman korelasyonları üzerinde güçlü bir önem istiyorsanız, tüm örneği birkaç kez çoğaltın).

Örnek 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699

0 Pearson vermek için düzenlenmiş bir parabolde puan, ancak sıfır olmayan Spearman korelasyonu

Örnek 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

y = -x üzerinde bulunan en küçük ve en büyük olanlar hariç ay = x çizgisindeki noktalar

Bu son örnekte, Spearman korelasyonu y = x üzerine daha fazla nokta eklenirken, Pearson korelasyonunu 0'da tutmak için sol üst ve sağ alt taraftaki iki noktayı daha aşırı yaparak daha güçlü hale getirilebilir.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak