Değişkenler mükemmel çağdaş bağımlılık gösterdiğinde çok değişkenli Merkezi Limit Teoremi (CLT) geçerli midir?

$X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

Motivasyon: Soru için motivasyonum, ve olduğunda mükemmel bir şekilde bağımlı olduğu garip (ama harika) hissetmesinden kaynaklanıyor, ancak çok değişkenli anlamı bağımsızlığa olarak yaklaşmalarıdır. (bu, ve tüm için ilişkisiz kaynaklanır , bu nedenle asimptotik olarak eklem normal ise, asimptotik olarak bağımsız olmaları gerekir). $S_n$ $T_n$ $n = 1$ $n \rightarrow \infty$ $S_n$ $T_n$ $n$

Herhangi bir cevap veya yorum için şimdiden teşekkür ederiz!

ps, vb herhangi bir referans sağlayabilir eğer daha iyi!

— Colin T Bowers
kaynak

Cevap yok, ama bir yorum. Bunu çok şaşırtıcı bulmuyorum. N = 1 için not ettiğiniz bağımlılık n yükseldikçe hızla azalır.

— Erik

@egbutter güzel bir cevap verdi. Hala alternatif ya da ek bir sezgi arıyorsanız, bana ping atın ve biraz farklı bir şey yazmayı göreceğim.

— kardinal

@cardinal Teklif için çok teşekkürler, ama bu noktada oldukça mutluyum - öfkeye ödül verdim. Sanırım sezgim var. Gönderme konusundaki temel amacım birisinin atlayıp "Hayır hayır hayır çünkü tüm yanlışları anladınız mı?" Dediğini görmekti :-) Şerefe.

— Colin T Bowers

Yanıtlar:

Q'nuzu anladığım gibi kısa cevap "evet, ama ..." S, T ve diğer anlarda yakınsama oranları mutlaka aynı değildir - Berry-Esseen Teoremi ile sınırları belirlemeye bakın .

Q'nuzu yanlış anlarsam Sn ve Tn zayıf bağımlılık (karıştırma) koşullarında CLT'ye tutunur: bağımlı süreçler için Wikipedia'nın CLT'sine bakın .

CLT böyle bir genel teoremi - temel kanıtı fazla şey gerektirir karakteristik fonksiyonu , daha sonra standart normal karakteristik fonksiyonuna Sn ve Tn yakınsak ait Levy Süreklilik Teoremi karakteristik fonksiyonunun yakınsama dağılımının yakınlaşma ima söylüyor.

John Cook, burada CLT hatasının harika bir açıklamasını sunar .

— egbutter
kaynak

Cevap için teşekkürler. Bu soru söz konusu olduğunda yakınsama oranı veya CLT'nin daha genel koşullar altında, örneğin bağımlılık olup olmayacağı konusunda endişelenmiyorum. Gerçekten umduğum şey , her toplamın ith bileşeni mükemmel çağdaş bağımlılık sergilediğinde çok değişkenli CLT'nin kullanımını haklı kılan bir referans veya ifadedir . Daha sonra, Davidson'un "Stokastik Limit Teorisi" nde, keyfi eşzamanlı bağımlılık verilen çok değişkenli CLT tutmalarını belirten bir referans buldum, ancak hala bu ifadenin etrafında biraz titizlik arıyorum.

— Colin T Bowers

Kulağa aşırı düşünüyormuşsun gibi geliyor. [1, n] 'deki i, bahsettiğiniz "çağdaş" bileşenler mi? Eğer öyleyse, o zaman önemli olan, Sn ve Tn'nizin hala yakınsak olacağıdır (bunu yukarıda belirtilen "eski okul" CLT kanıtıyla aynı yöntemi kullanarak kendinize kanıtlayabilirsiniz) - ancak belirli bir i için hataları farklı ol. Bu, CLT'nin sahip olduğu gerçeğini değiştirmez. Çoklu / tek değişkenli ayrım önemli değildir.

— egbutter

Evet, ben çağdaş bileşenlerdir. Örneği ispat yoluyla çalıştırma konusunda iyi bir öneri. Aslında bunu yaptım ve paradoksal olarak beni daha da gerginleştiren herhangi bir sorun bulamadım. Belki de bu noktada aşırı düşünmeye başladım :-) Yanıt için tekrar teşekkürler. Gün sonunda bir cevapta başka hiç kimse çatlamazsa, cevabınızı cevabınız olarak işaretlerim. Şerefe.

— Colin T Bowers

Kesinlikle empati kurabilirim - genellikle aynı şeyi yaparım! :)

— egbutter

Bu elbette bir şey kanıtlamıyor , ancak her zaman simülasyonlar yapmayı ve grafikleri çizmeyi teorik sonuçları anlamlandırmak için çok kullanışlı buluyorum.

Bu özellikle basit bir durumdur. rasgele normal değişken üretir ve ve hesaplar ; kez tekrarlayın . ve için grafiklerdir . arttıkça bağımlılığın zayıfladığını görmek kolaydır ; de grafik bağımsız neredeyse ayırt edilemez. $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

resim açıklamasını buraya girin

— Hong Ooi
kaynak