Layman için yeterli istatistik

Birisi yeterli istatistikleri çok temel terimlerle açıklayabilir mi? Mühendislik geçmişinden geliyorum ve birçok şeyden geçtim ama sezgisel bir açıklama bulamadım.

Yeterli bir istatistik bir örnekte yer alan tüm bilgileri özetler, böylece size aynı örneği tahmin edip size örnek verelim mi yoksa sadece istatistiğin kendisini mi verelim. Bilgi kaybı olmadan verilerin azaltılması.

İşte bir örnek. sıfır civarında simetrik bir dağılımı olduğunu varsayalım . Size bir örnek vermek yerine, size mutlak değerlerin bir örneğini verdim (bu istatistiktir). İşareti göremiyorsun. Ancak dağılımın simetrik olduğunu biliyorsunuz, bu nedenle belirli bir x , - x ve x değeri için eşit derecede olasıdır (koşullu olasılık 0,5'tir ). Böylece adil bir jeton çevirebilirsiniz. Eğer kafa gelirse, bunu x negatif yapın. Kuyruklar varsa, pozitif yapın. Bu size bir örnek verir X ' orijinal veri ile aynı dağılıma sahiptir, $X$$x$$-x$$x$$0.5$$x$$X'$$X$. Temel olarak verileri istatistikten yeniden yapılandırabiliyordunuz. Bunu yeterli kılan da bu.

Bayes terimleriyle, gözlemlenebilir bazı $X$ ve $\Theta$ parametresine sahipsiniz . Ortak dağıtım $X,\Theta$ belirtildi, ancak koşullu dağılımı gibi çarpanlarına olduğunu $X\mid \Theta$ ve önceden dağılımı $\Theta$ . Bir istatistik $T$ ve posterior dağılımı sadece eğer bu model için yeterlidir $\Theta\mid X$ olduğu gibi aynı $\Theta\mid T(X)$ , her önceden dağıtımı için $\Theta$ . $\Theta$ değerini öğrendikten sonra Θ hakkındaki güncel belirsizliğiniz$X$ hakkında güncellenmiş belirsizlik aynıdır$\Theta$ değerini bilerek sonra$T(X)$ ,hakkında sahip öncesinde her türlü bilgi $\Theta$ . Yeterliliğin modele bağlı bir kavram olduğunu unutmayın.

Bir madalyonun olduğunu ve bunun adil olup olmadığını bilmediğini söyle. Başka bir deyişle, kafa ( H ) yukarı çıkma olasılığı $p$ ve 1 - p kuyruk yukarı çıkma olasılığı ( T ) vardır ve p'nin değerini bilmiyorsunuzdur .$H$$1 - p$$T$$p$

Sikke birkaç kez atarak $p$ değeri hakkında bir fikir elde etmeye çalışın , $n$ kere.

Diyelim ki $n = 5$ ve elde ettiğiniz sonuç dizidir $(H, H, T, H, T)$ .

Şimdi istatistikçi arkadaşınızın $p$ değerini sizin için tahmin etmesini ve belki de madalyonun adil olup olmayacağını söylemek istersiniz. Hesaplamalarını yapabilmeleri ve sonuçlarına varabilmeleri için onlara hangi bilgileri söylemeniz gerekir?

Onlara tüm verileri söyleyebilirsiniz, yani $(H, H, T, H, T)$ . Bu gerekli mi? İlgili verileri kaybetmeden bu verileri özetleyebilir misiniz?

Madalyonun fırlatılmasının sırasının alakasız olduğu açıktır, çünkü her madalyon fırlatması için aynı şeyi yapıyordunuz ve madalyon fırlatmaları birbirini etkilemedi. Sonuç $(H, H, T, T, H)$ olsaydı, sonuçlarımız farklı olmaz. Sonuç olarak, istatistikçi arkadaşınıza söylemeniz gereken tek şey, kaç kafa olduğunu saymaktır.

Bunu , kafa sayısının p için yeterli bir istatistik olduğunu söyleyerek ifade ediyoruz .

Bu örnek kavramın tadını verir. Resmi tanımla nasıl bağlandığını görmek istiyorsanız okumaya devam edin.

Resmi olarak, bir istatistik, istatistik değeri göz önüne alındığında, sonuçların olasılık dağılımı parametreyi içermiyorsa, bir parametre için yeterlidir.

Bu örnekte, kafa sayısını bilmeden önce, herhangi bir sonucun olasılığı $p^\text{number of heads}(1 - p)^\text{n - number of heads}$ . Açıkçası bu $p$ .

Ancak kafa sayısı 3 (ya da başka bir değer) olduğunu biliyoruz kez, 3 kafaları (Tüm sonuçlar $(H, H, T, H, T)$ , $(H, H, T, T, H)$ , $...$ ) olan eşit olasılıkla (hepsi olasılık var bu yüzden on imkan var aslında $1/10$ ). Yani dağıtımın artık $p$ ile ilgisi yok . Sezgisel olarak bu, gözlemlediğimiz hangi özel sonucun bize p hakkında daha fazla bilgi vermeyeceği anlamına gelir.$p$$p$

$p$$\text{number of heads}$$\text{number of heads}$$p$