Kopula yoğunluğu için üst sınırlar?

Frechet-Hoeffding üst sınırı bağ dağılım fonksiyonu için geçerlidir ve bu verilir

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

CDF yerine yoğunluğu için benzer bir (marjinal yoğunluklara bağlı olarak) üst sınır var mı? $c(u_1,...,u_d)$

Herhangi bir referans büyük mutluluk duyacağız.

— Coppola
kaynak

Ne tür bir sınır arıyorsunuz? Asıl probleminizin açıklaması yardımcı olabilir. Teknik olarak, cevap iki farklı yolla "hayır" dır: (i) bir yoğunluk (!) Olmayabilir ve (b) olsaydı, bunu sıfır büyüklüğünde bir set olarak değiştirebiliriz ' gibi. Biz biliyoruz şey olsa. Özellikle var olduğunu varsayalım ve yan uzunlukları olan herhangi bir (hiper) dikdörtgen . Sonra, kesinlikle

c

$c$

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s ben n f}_{x \in R,} c (x) \leq (min_{ben} w_{ben}) / \underset{ben}{Π} w_{ben} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— kardinal

Bu sınırı karşılayan örnekleri kolayca oluşturabileceğiniz için, söylenebilecek çok fazla şey olmadığından şüpheleniyorum. Ama bunu dikkatlice düşünmedim.

— kardinal

@cardinal Yorumlarınız için teşekkür ederiz. Gerçekten de, önemsiz durumdan kaçınmak için yoğunluğun var olduğunu varsayıyorum. Marjinal yoğunluklar açısından bir üst sınır arıyordum. Özellikle Gaussian kopula ile ilgileniyorum.

— Coppola

Eğer bir kopula ise, tüm marjinal yoğunluklar eşittir, yani sabit bir işlevdir. :)

— kardinal

@cardinal Pardon Fransızcam. Sorumu yeniden ifade edeyim. Gauss kopula (özellikle ilgilendiğim) . Burada ve . Örneğin bu, ürünü tarafından sınırlandırılamaz . Bu yüzden, sadece marjinalleri içeren başka bir üst sınır arıyordum. Ve elbette, soruyu daha önce bahsedilen sınırlarla ilişkilendirerek daha genel bir şekilde sormaya çalışıyordum. Belirsiz sözlerim için özür dilerim.

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola

Genel olarak, hayır yok. Örneğin, iki değişkenli gauss kopula durumunda, üssün miktarı (0,0) 'da bir eyer noktasına sahiptir ve bu nedenle iki yönde sonsuzluğa patlar. Aslında sınırlı bir sınıf kopula yoğunluğu ile karşılaşırsanız, lütfen bana bildirin!

— MHankin
kaynak

Ne demek istediğini "üssü miktar" ile açıklayabilir misin? Bir "eyer noktasının" varlığı Gauss dağılımının standart bir tanımı ile tutarlı görünmemektedir.

— whuber

@whuber Gauss kopula yoğunluğu standart gauss değildir. Yukarıdaki coppola'nın yorumuna bakarsanız, gaussian kopula yoğunluğunun sadece ters kovaryans matrisini beklediğiniz bir

olduğunu fark edeceksiniz . Ters kovaryans matrisi simetrik pozitif yarı tanımlı olmalıdır, ancak -I pozitif olmayan kesinliğe ve dolayısıyla bir eyer noktasına izin verir. Dönüştürürken It varlığı değişken dönüşümü nedeniyle

kadar

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Evet, bunun farkındayım - ama cevabınız bunu ima etmiyor. Bu kopula, korelasyon matrisi

ile parametrelendirilir , ancak bu tür herhangi bir

için sadece

bir fonksiyonudur . Bu şekilde "sonsuza kadar patlamaz". Bu kopula'nın sınırlandırılmadığı geçerli bir korelasyon matrisi

(yani dejenere olmayan) yoktur. Cevabınızın açıklanmasını talep etmemin nedenleri bunlar.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@whuber Size örneğimin daha ayrıntılı bir yazısının düzenlenebilir bir sürümünü e-postayla gönderdim. Doğru göründüğünü düşünüyorsanız bana bildirin, bu durumda yukarıdaki cevabıma ekleyeceğim. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin