Binom ve Poisson rastgele değişkenlerinin toplamı

İki bağımsız rastgele değişkenimiz $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ ve $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ ise, olasılık kütle fonksiyonu $X_1 + X_2$ nedir?

Not: Bu benim için bir ödev değil.

— Matteo Fasiolo
kaynak

Sanırım kıvrılmayı denediniz mi? en.wikipedia.org/wiki/… Nerede takıldınız? Kapalı bir form olmadığını varsayıyorum, aksi takdirde çözüm muhtemelen burada olacaktır: en.wikipedia.org/wiki/…

— Stephan Kolassa

Evet ben denedim, ama belki burada bir cevap buldum: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Kummer konfluent hipergeometrik fonksiyon ..hugh !

— Matteo Fasiolo

Ödev etiketini bu sitedeki kullanımına uygun olarak okudum . Şerefe. :-)

— kardinal

Roman yeni demektir (daha önce bilinmeyen veya yayınlanmayan). Ayrıca, yeni problemleri çözmek için bilinen yöntemleri kullanmanın ödev oluşturduğunu kabul etmiyorum - aynı şey dağıtımlarda sonuç yayınlayan dergi makalelerinin çoğu için de söylenebilir.

— wolfies

İntegral argümanlarla hipergeometrik bir fonksiyonun göründüğü istatistiklerde diğer birçok durumda olduğu gibi, isterseniz, evrişimdeki örtülü (sonlu) toplam için kısayol gösterimi olduğunu anlayabilirsiniz. Böyle bir ifadenin avantajı, onu daha basit formlara dönüştürmenin sayısız yolu olmasıdır ve genellikle toplamı gerçekleştirmeden değerlendirilebilir.

— whuber

Yanıtlar:

Sonuç olarak , biri için ve diğeri için iki farklı formül elde edeceksiniz . Bu sorunu yapmanın en kolay yolu ve çarpımını hesaplamaktır . Sonra, $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ katsayısıürün. Toplamların sadeleştirilmesi mümkün değildir. $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

— Dilip Sarwate
kaynak

P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— kjetil b halvorsen
kaynak

Dilip Sarwate, 7 yıl önce, yorumlarda zor olmasına rağmen, basitleştirmenin mümkün olmadığını belirtti. Ancak, herhangi bir basitleştirme olmadan bile, hesaplamanın herhangi bir e-tabloda veya programlama dilinde oldukça basit olduğunu belirtmek yararlı olur.

İşte R'de bir uygulama:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— Pere
kaynak

Dilip, meblağların basitleştirilmesinin mümkün olmadığını göstermedi: böyle bir iddiada bulundu (ve iddia doğru görünmüyor). OP tarafından sağlanan bağlantıları takip ederseniz, Kummer konfluent hipergeometrik fonksiyonlar açısından bir çözüm sağlanır.

— Wolfies

@wolfies - Bu eski sorunun yeni cevabında çok ilginç bir nokta olurdu. Muhtemelen benimkinden daha ilginç.

— Pere

Binom ve büyük lambdadaki büyük n için potansiyel olarak daha hızlı bir yaklaşım, hızlı Fourier dönüşümleri (veya benzeri) içerecektir. Bunu, kıvrımın cebirsel olarak uygun olmadığı, ancak sayısal cevapların yeterli olduğu ve çoklu bağımsız değişkenlerin eklendiği bir dizi gerçek dünya probleminde başarılı bir şekilde kullandım.

— Glen_b

Glen_b'nin yorumu, daha büyük ve değerleri için bu kaba kuvvet evrişimi hantal hale gelir. Dahası, zorluk onu uygulamak değil, diziyi hesaplamak için uygun uç noktaları bulmaktır : 10'a sabitlemek açıkça kesmez. Güvenilir bir yöntem, dağıtımın aşırı persentillerine ayarlanmaktır , örneğin , dış ürünle devam etmeden önce aralığını hesaplamak ve ardından sonuçları "ile" kesmek . Büyük olduğunda , binom olasılıklarına benzer bir prosedür uygulayın.

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

— whuber

Aslında. Kendi uygulamamla benzer bir şey yaptım - yeterince dışarı çıkmak, gerekli miktarları gerektiği kadar doğru bir şekilde verdi.

— Glen_b