R'de t-dağılımının takılması: ölçekleme parametresi

Bir t dağılımının parametrelerine nasıl uyurum, yani normal dağılımın 'ortalama' ve 'standart sapmasına' karşılık gelen parametreler. Bir t-dağılımı için 'ortalama' ve 'ölçeklendirme / serbestlik derecesi' olarak adlandırıldığını varsayıyorum?

Aşağıdaki kod genellikle 'optimizasyon başarısız' hatalarıyla sonuçlanır.

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

Önce x 'i ölçeklendirmem veya olasılıklara dönüştürmem gerekiyor mu? Bunu en iyi nasıl yapabilirim?

fitdistrBelirli bir dağılımın parametrelerini bulmak için maksimum olabilirlik ve optimizasyon tekniklerini kullanır. Bazen, @ user12719'un fark ettiği gibi, özellikle t-dağılımı için, formdaki optimizasyon:

fitdistr(x, "t")

bir hata ile başarısız olur.

Bu durumda, optimum parametreleri aramaya başlamak için başlangıç ​​noktası ve alt sınır sağlayarak optimize ediciye bir el vermelisiniz:

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

Not, df=3bir "optimal" ne dfolabileceğini en iyi tahmin olduğunu . Bu ek bilgiyi verdikten sonra hatanız kaybolacaktır.

İç mekaniğini daha iyi anlamanıza yardımcı olacak birkaç alıntı fitdistr:

Normal, log-Normal, geometrik, üstel ve Poisson dağılımları için kapalı form MLE'ler (ve kesin standart hatalar) kullanılır ve bunlar startverilmemelidir.

...

Aşağıdaki adlandırılmış dağılımlar için, startatlanırsa veya yalnızca kısmen belirtilirse makul başlangıç ​​değerleri hesaplanır : "cauchy", "gama", "lojistik", "negatif binom" (mu ve boy ile parametrelendirilir), "t" ve "weibull ". Bu başlangıç ​​değerlerinin, uyum zayıfsa yeterince iyi olmayabileceğini unutmayın: özellikle, takılan dağıtım uzun kuyruklu olmadıkça, aykırı değerlere karşı dirençli değildir.

$\nu$$t$

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

$n$

Bazı simülasyonları deneyelim:

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

Tahmin çok dengesizdir (histograma bakıldığında, tahmini değerlerin büyük bir kısmı, 200'ü optimize etmek için verilen üst sınırdadır).

Daha büyük bir örneklem büyüklüğü ile tekrarlama:

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

ki bu daha iyidir, ancak ortalama hala 2.5'in gerçek değerinin çok üzerindedir.

Sonra bunun, konum ve ölçek parametrelerinin de tahmin edilmesi gereken gerçek sorunun basitleştirilmiş bir versiyonu olduğunu unutmayın.

$t$$\nu$

Fitdistr yardımında bu örnek:

fitdistr(x2, "t", df = 9)

df için sadece bir değere ihtiyacınız olduğunu gösterir. Ancak bu standartlaştırmayı varsayar.

Daha fazla kontrol için,

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

burada parametreler m = ortalama, s = standart sapma, df = serbestlik derecesi olacaktır