Türetilen bu ayrık dağılımın adı nedir (özyinelemeli fark denklemi)?

Bir bilgisayar oyununda bu dağıtımla karşılaştım ve davranışı hakkında daha fazla bilgi edinmek istedim. Verilen sayıda oyuncu eyleminden sonra belirli bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğine karar verilir. Bunun ötesindeki detaylar ilgili değildir. Diğer durumlar için uygulanabilir gibi görünüyor ve ilginç buldum çünkü hesaplanması kolay ve uzun bir kuyruk yaratıyor.

Her adımında , oyun düzgün rastgele bir sayı üretir . Eğer , daha sonra olay tetiklenir. Olay bir kez gerçekleştikten sonra, oyun sıfırlar ve dizide tekrar çalışır. Bu sorunun etkinliğinin yalnızca bir olayıyla ilgileniyorum, çünkü bu oyunun kullandığı dağıtımı temsil ediyor. (Ayrıca, birden fazla tekrarlamayla ilgili tüm sorular tek bir tekrarlama modeliyle yanıtlanabilir.) $n$ $0 \leq X < 1$ $X < p(n)$ $n = 0$

Buradaki ana "anormallik", bu dağılımdaki olasılık parametresinin zamanla artması veya başka bir deyişle, eşiğin zamanla artmasıdır. Örnekte doğrusal olarak değişir, ancak diğer kuralların geçerli olabileceğini düşünüyorum. adımdan veya kullanıcının gerçekleştirdiği işlemlerden sonra , $n$

p (n) = k n

$p(n) = kn$

bazı sabit . Belirli bir noktada , . Etkinliğin o adımda gerçekleşmesi garanti edilir. $0 < k < 1$ $n_{\max}$ $p(n_{\max}) \geq 1$

Bunu belirleyebildim

f (n) = p (n) [1 - F (n - 1)]

$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$ ve PMF ve CDF . Kısaca, olay olasılığının bu inci adım olasılığı eşittir , daha önceden, önceki herhangi bir adım oldu olma olasılığı.

F (n) = p (n) + F (n - 1) [1 - p (n)]

$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$

f (n)

$f(n)$

F (n)

$F(n)$

n

$n$

p (n)

$p(n)$

İşte arkadaşımız Monte Carlo'dan eğlence için, ile bir arsa . Medyan 21 ve ortalama 22 olur. $k \approx 0.003$ resim açıklamasını buraya girin

Bu, benim arka planım olan dijital sinyal işlemeden birinci dereceden bir fark denklemine eşdeğerdir ve bu yüzden oldukça yeni buldum. Ayrıca nin herhangi bir rastgele formüle göre değişebileceği fikrinden de etkileniyorum . $p(n)$

Sorularım:

Eğer varsa, bu dağıtımın adı nedir?
İçin bir ifade elde etmek için herhangi bir şekilde var referans olmadan ? $f(n)$ $F(n)$
Bunun gibi ayrık özyinelemeli dağılımların başka örnekleri var mı?

Düzenlemeler rastgele numara ile ilgili Aydınlatılmış işlem.

— jbarlow
kaynak

() Yerine köşeli parantez seçmeniz için herhangi bir neden var mı?

— Cam.Davidson.Pilon

@ Cam.Davidson.Pilon: DSP arka planım içeri girdi. Ayrık zaman işlevleri için köşeli parantez kullanma eğilimindeyiz. Sanırım bu sarsıcı olmalı bu yüzden değiştireceğim.

— jbarlow

Varsaydığınız işlem burada açıkça tanımlanmış görünmüyor. "Her adımında , oyun rastgele bir sayısı . , olay tetiklenir." Ancak, nasıl çizildiğine dair hiçbir spesifikasyon belirtmezsiniz . Sürecin biraz daha kesin bir şekilde tanımlanmasının yararlı olacağını düşünüyorum.

n

$n$

X

$X$

X < p (n)

$X < p(n)$

X

$X$

— kardinal

@jbarlow: Önceki sözüm net değilse özür dilerim. Eğer bazıları için , sonra süreç daha fazla olabilirdi yolu yoktur sıfıra arasında düzgün bir rasgele sayı beri basamaklar ve kesinlikle daha küçük olacağını daha herhangi biri için . Miktarı bir fonksiyonu olarak çok yakın olarak adlandırılan ilgilidir risk fonksiyonu olarak bilinen istatistiği alt alanında sağkalım analizi .

p (n) = k n

$p(n) = k n$

0 < k < 1

$0 < k < 1$

⌈ k^{- 1} ⌉

$\lceil k^{-1} \rceil$

p (n)

$p(n)$

n > 1 / k

$n > 1/k$

p (n)

$p(n)$

n

$n$

— kardinal

Küçük , bu fark denkleminin diferansiyel analoğunun kullanılması, ( ! Değil ) Gaussian'a yakın olduğunu gösterir. (Örneğin, derhal, ortalamanın olması gerektiği sonucuna .) Lütfen, üzerinde bazı (güçlü) kısıtlamalar olduğunu , aksi takdirde bir kez aşıyor (sonunda yapar), hiçbir garantisi yoktur daha az seviyede kalır ya da eşit .

k

$k$

F

$F$

f

$f$

\sqrt{1 / k} = \sqrt{333} \approx 18

$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$

k

$k$

p (n)

$p(n)$

1

$1$

F

$F$

1

$1$

— whuber

Yanıtlar:

Bir anlamda, yaptığınız tüm negatif olmayan tamsayı değerli dağılımları karakterize etmektir .

Bir an için rastgele sürecin açıklamasını bir kenara bırakalım ve sorudaki özyinelemelere odaklanalım.

Eğer , o zaman kesinlikle . Bu ikinci özyinelemeyi, ( dağıtımına sahip olduğu hayatta kalma fonksiyonu açısından yeniden , çok müstehcen ve kullanımı kolay bir şey elde ederiz. Açıkça, ve böylece Böylece, değerler ve çok hızlı bir şekilde sıfıra yaklaşmadıkça, geçerli bir sağkalım fonksiyonu elde ederiz (yani monoton olarak olarak sıfıra iner ). $f_n = p_n (1 - F_{n-1})$ $F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$ $T$ $F$

S_{n} = 1 - F_{n} = (1 - p_{n}) S_{n - 1},

$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$

S_{n} = \prod_{k = 0}^{n} (1 - p_{k}) .

$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$

(p_{n})

$(p_n)$

[0, 1]

$[0,1]$

n \to \infty

$n \to \infty$

Daha spesifik olarak,

Önerme : de değer alan bir dizi , yalnızca ise, negatif olmayan tamsayılardaki dağılımı belirler ve tüm bu dağılımlar karşılık gelen bir diziye sahiptir (benzersiz olmasa da). $(p_n)$ $[0,1]$
$- \sum_{n = 0}^{\infty} \log (1 - p_{n}) = \infty,$ $-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$

Bu nedenle, soruda yazılan özyineleme tamamen geneldir : Negatif olmayan tamsayı değerli dağılımların değerleri alan karşılık gelen bir sırası . $(p_n)$ $[0,1]$

Ancak bunun tersi doğru değildir; diğer bir deyişle, de geçerli bir dağılıma karşılık değerlere sahip diziler vardır . (Özellikle, tüm için ve için .) $(p_n)$ $[0,1]$ $0 < p_n < 1$ $n \leq N$ $p_n = 0$ $n > N$

Ama, bekle, dahası var!

Hayatta kalma analizi ile bir bağlantıya değindik ve bunu biraz daha derinlemesine araştırmaya değer. Eğer sürekli bir dağılım ile klasik sağkalım analizinde ve karşılık gelen yoğunluk , tehlike fonksiyonu olarak tanımlanır $F$ $f$

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)} .

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$

Kümülatif tehlike daha sonra ve türevleri gösterir basit bir analizi, Buradan, hemen kabul edilebilir bir tehlike fonksiyonunun bir karakterizasyonunu verebiliriz: , ve için ölçülebilir bir işlevdir. olarak . $\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$

S (t) = \exp (- Λ (t)) = \exp (- \int_{0}^{t} h (s) d s) .

$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$

h

$h$

h (t) \geq 0

$h(t) \geq 0$

t

$t$

\int_{0}^{t} h (s) d s ↑ \infty

$\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$

t \to \infty

$t \to \infty$

için hayatta kalma fonksiyonu için benzer bir özyineleme elde ediyoruz. $t > t_0$

S (t) = e^{- \int_{t_{0}}^{t} h (s) d s} S (t_{0}) .

$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$

Uyun özellikle seçtik olabilir her parçası genişliğinin 1 olmak ve sonsuza şekilde entegre yakınsak olan parçalı sabit olması. Bu , her pozitif tamsayıda bir değerli herhangi bir ayrık negatif olmayan tamsayı ile eşleşen bir hayatta kalma fonksiyonu verecektir . $h(t)$ $S(t)$

Ayrık kasaya geri bağlanma

İstenen farklı eşleştirmek için her bir tamsayı olarak, bu şekilde parça parça sabit olan bir tehlike işlevi seçmek gerekir üzerinde . Bu, ikinci bir sekans için gerekli olan durumun kanıt sağlamaktadır geçerli bir dağılımını tanımlamak için kullanılır. $S(n)$

h (t) = h_{n} = - \log (1 - p_{n}),

$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$

(n - 1, n]

$(n-1,n]$

(p_{n})

$(p_n)$

Küçük , 'in sürekli bir dağıtımın tehlike fonksiyonu ile uygun sağkalım fonksiyonu ile ayrık dağılım arasında sezgisel bir bağlantı sağlar. tamsayılar. $p_n$ $-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

Postscript : Son bir not olarak, örnek söz konusu mu değil uygun bir değişiklik yapılmadan gerekli koşulları karşılayan de ve ayar herkes için . $p_n = k n$ $f_n$ $n = \lceil k^{-1} \rceil$ $f_n = 0$ $n > \lceil k^{-1} \rceil$

— kardinal
kaynak

+1 Çok aydınlatıcı. Ancak, postscript ile ilgili olarak, bana göre "uygun kesme", tabii ki özel değerleri için gerçekleşir . Örneğin, 1/2 ile elde ederiz ve daha genel olarak elde ederiz .

k

$k$

k = 1 / 2

$k=1/2$

f = (0, 1 / 2, 1 / 2, 0, \dots)

$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$

k = 1 / m

$k=1/m$

f (m + 1) = f (m + 2) = \dots = 0

$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

— whuber

@whuber: Ne demek istediğimi "uygun kesme" ile daha açık bir şekilde belirtmeliydim. Ben değerinin kesilmesi (küçülen) düşünüyordum (böylece belirli bir noktada birlik olur). durumda nosyonun hala geçerli olduğunu düşünüyorum, sadece kısaltma değerinde bir değişiklikle . Bunu kısa süre içinde bir düzenlemede netleştirmeye çalışacağım. Teşekkür ederim!

f_{n}

$f_n$

F_{n}

$F_n$

f_{n}

$f_n$

— kardinal

Mükemmel cevap. Bu çok anlayışlı. Bu sorunun diğer alanlara ve kavramlara bağlı olduğunu görmek gerçekten ilgimi çekti.

— Aralık'ta jbarlow

@jbarlow: Teşekkür ederim. Yararlı bulduğunuz için memnunum! Güzel bir soru olduğu için biraz düşünmekten keyif aldım.

— kardinal

Durumda , bazı bilinen özellikleri vardır. Nüks ilişkisini çözebiliriz $p(n) = p < 1$

F (n) = p + F (n - 1) (1 - p); F (0) = p

$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$

çözümü var

F (n) = P (N \leq n) = 1 - (1 - p)^{n + 1}

$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$ olan geometrik dağılım . İyi çalışılmıştır.

Daha genel vakası muhtemelen kapalı formda hesaplanamaz ve bu nedenle muhtemelen bilinen bir dağılıma sahip değildir. $p(n)$

Diğer durumlar:

$p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ , çözümüne sahiptir bu yaygın olarak bilinen bir dağılım değildir. $F (n) = 1 - \frac{(1 - p) Γ (n + 1 - p)}{Γ (1 - p) Γ (n + 1)}$ $F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$
(istatistiklerde hayatta kalma işlevi olarak bilinir tanımlayın , yukarıdaki yineleme ilişkisi daha basit forma düşer: $S(n) = 1-F(n)$ $S (n) = (1 - p (n)) S (n - 1)$ $S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$
Senin Örneğin itibaren, bir işlev istediğiniz görünen artışlara o . Seçiminiz , mola nedeniyle analitik olarak mükemmel değildir . Matematikçiler ve istatistikçiler düzgün şeyleri tercih ederler . Bu yüzden olan ve 1'e yaklaşır. Bu ile rekürrens ilişkisini çözmek güzel bir analitik forma sahiptir: Dikkate . Bilinen bir istatistik gerçek şu ki $p(n)$ $n$ $p(n) = kn$ $p>1$ $p (n) = 1 - \frac{(1 - p)}{n + 1} p < 1$ $p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$ $p(0) = p$ $p(n)$ $F (n) = 1 - \frac{(1 - p)^{n + 1}}{n!}$ $F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $\sum_{i = 0}^{\infty} S (i) = E [N]$ $\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$ bazı hesaplamaları hatırlarsanız, üstel Taylor serisine çok benziyor, dolayısıyla $E [N] = (1 - p) e^{(1 - p)}$ $E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$

— Cam.Davidson.Pilon
kaynak