Simetrik Dağılımların Merkezi Momentleri

Simetrik dağılımın merkezi anını göstermeye çalışıyorum:

$${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$$ tek sayılar için sıfırdır. Örneğin üçüncü merkezi an $${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$$ Göstermeye deneyerek başladıBuradan nereye gideceğimi bilmiyorum, herhangi bir öneriniz var mı? Bunu kanıtlamanın daha iyi bir yolu var mı? $${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$$

Bu cevap mümkün olduğunca basit bir gösteri yapmayı amaçlamaktadır, çünkü bu tür şeyler genellikle temel fikre ulaşır. Sadece (cebirsel manipülasyonlara en basit tür ötesinde) gerekli gerçekler entegrasyon doğrusallık (veya buna eşdeğer beklenti), İntegraller için değişkenler formül değişikliği ve birlik bir PDF bütünleştirir o aksiyomatik sonucudur.

Bu gösteriyi motive etmek, $f_X$ hakkında simetrik $a$, daha sonra herhangi bir miktarın katkısı $G(x)$ beklentiye $\mathbb{E}_X(G(X))$ miktar ile aynı ağırlığa sahip olacak $G(2a-x)$, Çünkü $x$ ve $2a-x$ karşı taraflarında $a$ve eşit derecede uzakta. Öyleyse,$G(x) = -G(2a-x)$ hepsi için $x$, her şey iptal edilir ve beklenti sıfır olmalıdır. Aralarındaki ilişki$x$ ve $2a-x$, o zaman, bizim kalkış noktamız.

---

Uyarı, yazarak $y = x + a$, simetrinin ilişki ile de ifade edilebileceğini

$$f_X(y) = f_X(2a-y)$$

hepsi için $y$. Ölçülebilir herhangi bir işlev için$G$, değişkenin bire bir değişimi $x$ için $2a-x$ değişiklikler $dx$ için $-dx$, entegrasyon yönünü tersine çevirirken,

$$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$$

Bu beklentinin var olduğu varsayılarak (yani integral yakınsar), integralin doğrusallığı ima eder

$$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$$

Hakkında garip anları düşünün $a$beklentileri olarak tanımlanan $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$, $k = 1, 3, 5, \ldots$. Bu durumlarda

$$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$$

kesin çünkü $k$garip. Önceki sonucun uygulanması

$$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$$

Çünkü sağ taraf iki kat daha $k$bu an hakkında $a$, bölerek $2$ bu anın var olduğunda sıfır olduğunu gösterir.

Son olarak, ortalama (var olduğu varsayılarak)

$$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$$

Bir kez daha doğrusallıktan yararlanmak ve bunu hatırlamak $\int f_X(x)dx=1$ Çünkü $f_X$ bir olasılık dağılımıdır, okumak için son eşitliği yeniden düzenleyebiliriz

$$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$$

benzersiz çözüm ile $\mu_X = a$. Bu nedenle, önceki tüm hesaplamaları$a$ gerçekten merkezi anlar, QED.

---

Postword

Bölme ihtiyacı $2$birçok yerde bir grup düzenin olması$2$ ölçülebilir fonksiyonlar üzerine etki eden (yani, etrafındaki çizgideki yansıma tarafından üretilen grup) $a$). Daha genel olarak, bir simetri fikri herhangi bir grubun eylemine genelleştirilebilir. Grup temsillerinin teorisi, bir işlev üzerindeki bu eylemin karakteri önemsiz olmadığında, önemsiz karakterle dikey olduğu anlamına gelir ve bu, işlevin beklentisinin sıfır olması gerektiği anlamına gelir. Ortogonallik ilişkileri grubun üzerine eklemeyi (veya entegre etmeyi) içerir, bu nedenle grubun büyüklüğü sürekli olarak paydalarda görülür: sonlu olduğunda kardinalitesi veya kompakt olduğunda hacmi.

Bu genellemenin güzelliği, benzen molekülü (12 elemanlı bir simetri grubuna sahip olan) simetrik sistemlerin mekanik (veya kuantum mekanik) hareket denklemleri gibi belirgin simetriye sahip uygulamalarda belirginleşir . (Kalite Yönetimi uygulaması en alakalı olanıdır, çünkü beklentileri açıkça hesaplar.) Fiziksel ilgi değerleri - tipik olarak tensörlerin çok boyutlu integrallerini içerir - burada yer alandan daha fazla iş olmadan hesaplanabilir, sadece integraller. Örneğin, çeşitli simetrik moleküllerin "renkleri" - çeşitli dalga boylarında spektrumları - belirlenebilir initio ab bu yaklaşımla.