Bernoulli örneklemesi için güven aralığı

Ben, Bernoulli rastgele değişken rasgele bir biçimde numûne sahip burada, iidrv ve vardır ve bilinmeyen bir parametredir. $X_1 ... X_N$ $X_i$ $P(X_i = 1) = p$ $p$

Açıktır ki, bir an için tahmin bulabilirsiniz : . $p$ $\hat{p}:=(X_1+\dots+X_N)/N$

Sorum şu, için nasıl bir güven aralığı oluşturabilirim ? $p$

confidence-interval binomial bernoulli-distribution

— amip Reinstate Monica diyor
kaynak

Wikipedia, bernoulli örneklemesi için güven aralıklarının nasıl hesaplanacağına dair detaylara sahiptir .

Yanıtlar:

Eğer değil, yakın ya da ve örnek büyüklüğü (yani yeterince büyük ve , güven aralığı normal dağılım ile tahmin edilebilir ve Böylece oluşturulan güven aralığı: $\hat{p}$ $1$ $0$ $n$ $n\hat{p}>5$ $n(1-\hat{p})>5$

$\hat{p} \pm z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$ $\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
Eğer ve , güven aralığı yaklaşık $\hat{p} = 0$ $n>30$ $95\%$ (Javanovic ve Levy, 1997); tersi için de geçerlidir. Referans aynı zamandave(önceki bilgileri içerecek şekilde)kullanmayı tartışır. $[0,\frac{3}{n}]$ $\hat{p}=1$ $n+1$ $n+b$
$n$ $\hat{p}$

R fonksiyonları sağlar binconf {Hmisc}ve binom.confint {binom}bu, aşağıdaki şekilde kullanılabilir:

set.seed(0)
p <- runif(1,0,1)
X <- sample(c(0,1), size = 100, replace = TRUE, prob = c(1-p, p))
library(Hmisc)
binconf(sum(X), length(X), alpha = 0.05, method = 'all')
library(binom)
binom.confint(sum(X), length(X), conf.level = 0.95, method = 'all')

Agresti, Alan; Coull, Brent A. (1998). "Yaklaşık değeri, binom oranlarının aralık tahmini için" kesin "den daha iyidir. Amerikan İstatistiği 52: 119-126.

Jovanoviç, BD ve PS Levy, 1997. Üç Kuralına Bir Bakış. Amerikan İstatistiği Vol. 51, No. 2, sayfa 137-139

Ross, TD (2003). Msgstr "Binom oranı ve Poisson oranı tahmini için doğru güven aralıkları". Biyoloji ve Tıpta Bilgisayarlar 33: 509–531.

— David LeBauer
kaynak

(+1) Güzel cevap. Bu, gelecekte benzer soruların referansı olacak. Bununla birlikte, çapraz gönderme olağan değildir; Aslında, kaşlarını çattığına inanıyorum, çünkü geri bildirim / referans / konu / yorumlama sisteminin birçok yönünü mahvetti. Lütfen kopyalardan birini çıkarmayı ve bir yorumdaki bağlantıyı değiştirmeyi düşünün.

— whuber

@whuber Geri bildiriminiz için teşekkür ederiz. Diğer kopyayı kaldırdım.

— David LeBauer

İlk formülde, z1 ve alfa nedir?

— Cirdec

z_{1 - α / 2}

$z_{1-\alpha/2}$

1 - α / 2

${1-\alpha/2}$

α

$\alpha$

3 / n

$3/n$

Maksimum olabilirlik güven aralığı

$p$

$\hat{\beta}_0 = \log(\hat{p}/(1-\hat{p}))$

$\alpha$ $\beta_0$

CI (β_{0})_{α} = {\hat{β}}_{0} \pm Z_{α / 2} \sqrt{1 / (n \hat{p} (1 - \hat{p})}

$\text{CI}(\beta_0)_\alpha = \hat{\beta}_0 \pm \mathcal{Z}_{\alpha/2} \sqrt{1/(n\hat{p}(1-\hat{p})}$

$p$

CI (p)_{α} = 1 / (1 + \exp (- CI (β_{0})_{α})

$\text{CI}(p)_\alpha = 1/(1+\exp(-\text{CI}(\beta_0)_\alpha)$

Bu CI, oranların 0 veya 1 arasındaki aralıkta olması ve CI'nin her zaman normal seviyeden doğru seviyede olmasına rağmen daha dar olması gibi ek bir avantaja sahiptir. Bunu belirterek, R'yi çok kolay bir şekilde elde edebilirsiniz:

set.seed(123)
y <- rbinom(100, 1, 0.35)
plogis(confint(glm(y ~ 1, family=binomial)))

    2.5 %    97.5 % 
0.2795322 0.4670450

Tam binom güven aralıkları

$Y = n\hat{p}$ $(n,p)$ $\hat{p}$

{CI}_{α} = (F_{\hat{p}}^{- 1} (0.025), F_{\hat{p}}^{- 1} (0.975))

$\text{CI}_\alpha = (F^{-1}_{\hat{p}}(0.025), F^{-1}_{\hat{p}}(0.975))$

$p$

qbinom(p = c(0.025, 0.975), size = length(y), prob = mean(y))/length(y)
[1] 0.28 0.47

Medyan tarafsız güven aralıkları

$p$ $p_{1-\alpha/2}$

p_{1 - α / 2} : P (Y = 0) / 2 + P (Y > y) > 0.975

$p_{1-\alpha/2} : P(Y = 0)/2 + P(Y > y) > 0.975$

Bu aynı zamanda bir hesaplama rutinidir.

set.seed(12345)
y <- rbinom(100, 1, 0.01) ## all 0
cil <- 0
mupfun <- function(p) {
  0.5*dbinom(0, 100, p) + 
    pbinom(1, 100, p, lower.tail = F) - 
    0.975
} ## for y=0 successes out of n=100 trials
ciu <- uniroot(mupfun, c(0, 1))$root
c(cil, ciu)

[1] 0.00000000 0.05357998 ## includes the 0.01 actual probability

Son iki yöntem epitoolsR'deki pakette uygulanır.

— Adamo
kaynak