Bir istatistiğin dağılımını bulma

Bir test için çalışıyorum. Buna cevap veremedim.

İzin Vermek $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ ol $\mathcal{N}(0,1)$rastgele değişkenler. Tanımlamak

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$,

ve $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$,

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Dağılımı nedir $\overline{W}_n$, $S_n^2$?

Böyle bir soruna başlarken kullanılacak en iyi yöntem hakkında nasıl bir fikir edinebilirim?

Bu bir hile.

Şartlı olarak $X_{3,i} = x$ bizde var $W_i$ eşittir

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ Bu sabit için $x$ Bu iki bağımsızın basit bir doğrusal dönüşümüdür $\mathcal{N}(0,1)$dağıtılmış değişkenler $X_{1,i}$ ve $X_{2,i}$. Nereden,$W_i \mid X_{3,i} = x$dağılımı normaldir. Koşullu ortalamanın 0 olduğu ve koşullu varyansın (bağımsızlık varsayımlarına göre) $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

Koşullu dağılımı beri $W_i \mid X_{3,i} = x$ bağlı değil $x$ bunun marjinal dağılımı olduğu sonucuna varıyoruz, yani, $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Gerisi, bağımsız normal rasgele değişkenler için ortalamalar ve artıklar üzerindeki standart sonuçlardan kaynaklanmaktadır. Basu'nun teoremine hiçbir şey için gerek yoktur.