Amip Röportaj Sorusu

25

Bu soruya, özel bir ticari firma ile bir ticari pozisyon görüşmesi sırasında soruldu. Bu sorunun cevabını ve arkasındaki sezgiyi bilmek istiyorum.

Amip Sorusu: Bir amip popülasyonu 1 ile başlar. Bir periyodun ardından, amip eşit olasılıkla 1, 2, 3 veya 0'a bölünebilir (ölebilir). Nihayetinde tüm nüfusun ölme olasılığı nedir?

probability

— AME
kaynak

Bunların her birini olasılık mu sanıyoruz ?

1 / 4

$1/4$

— shabbychef

16

biyolojik açıdan bakıldığında, bu şans 1'dir. Çevre, x milyar yıl içinde güneşin patlayacağı göz önüne alındığında, hiçbir popülasyonun hayatta kalamayacağı bir noktaya değişmek zorundadır. Ama sanırım aradığı cevap bu değildi. ;-) Soru da mantıklı değil. Bir amip sadece 2 veya 0'a bölünebilir. Ahlaki: tüccarlar biyoloji hakkında sorular sormamalıdır.

— Joris Meys

7

Böyle bir pozisyon için görüşme üzerine böyle bir soru? Belki dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 gibi bir şey ?

1

Bu Mike'ın bahsettiği gibi sevimli bir soru. Buradaki sezgi, nihai hayatta kalma / yok olma olasılığının iki kuşak arasında aynı olduğu yönündedir. Daha yaratıcı bir versiyon, hayatta kalma ihtimalinin kendisinin mevcut amipin sayısının bir fonksiyonu olarak değiştiği düşünülebilir. Bunu site bloguma ekledim.

— brokoli

1

1) Amipler ikili mitozlarla çoğalırlar. 2) Amipler anormal mitotik şekillerde üremezler, örneğin, zamanlar 3, eğer görülmüşse öldürücü olur. 4) Görüşme sırasında soruları doğrulamak için önyargı yanlılığının genellikle düşük kalite olduğu kabul edilir. Tavsiye; bu işi istemeyebilirsin.

— Carl

36

Sevimli sorun. Bu, olasılıkçıların kafalarında eğlenmek için yaptıkları şeyler.

Teknik, böyle bir nesli tükenme ihtimalinin olduğunu varsaymaktır, buna deriz $P$ . Ardından, gördüğümüz olası sonuçlar için tek bir karar ağacına bakmak - Toplam Olasılık Yasasını kullanarak - ki

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

2 veya 3 “yavru” durumunda, neslinin tükenme ihtimallerinin IID olduğu varsayılarak. Bu denklemin iki uygulanabilir kökü vardır, ve $1$ . Benden daha akıllı biri nedenmantıklı olmadığınıaçıklayabilir. $\sqrt{2}-1$ $1$

İşler zorlaşıyor olmalı - ne tür bir görüşmeci kafanızdaki kübik denklemleri çözmenizi bekliyor?

— Mike Anderson
kaynak

3

Sebebi 1 kolaylıkla sonra amip beklenen sayısını dikkate alınarak görülür bir kök olmayan

diyoruz, adımların

. Kolayca

. Her bir sonuç olasılığı olduğu için

elimizdeki

, ve bu yüzden

bağlanmış olmayan büyür

. Bu açıkça

ile anlaşılmaz .

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

— Kasım'da perişan

9

@shabbychef Bu bana çok açık değil. Beklentinin katlanarak büyümesini bekleyebilirsiniz (hatta daha hızlı) ve ölme olasılığı hala birliğe yaklaşıyor. (Örneğin, popülasyonun her nesilde dört katına çıktığı ya da her birinin eşit şansa sahip olduğu tamamen öldüğü, stokastik bir süreci düşünün. N neslindeki beklenti 2 ^ n'dir, ancak yok olma olasılığı 1'dir.) çelişki; Argümanınızın ilave bir şeylere ihtiyacı var.

— whuber

1

@shabbychef - düzenleme için teşekkürler. Matematik için gömülü TeX kullanabileceğimizin farkında değildim! @whuber - shabbychef açıklaması

sadece çarparak olasılıklar yerine beklentilerini ekleyin sönme olasılığı hakkında Ekstremde sadece bir çeşididir. İyi işti, Shab.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

— Mike Anderson,

1

Bu açık, Mike, ama ne demek istiyorsun? Çözüm olarak 1'i nasıl dışlayacağımızdan bahsetmiyor muyuz? Bu arada, 1'in bir çözüm olacağı açıktır (inceleme ve / veya sorunu anlayarak). Bu, onu kolayca çözebileceği ikinci dereceden bir denkleme indirger. Bu genellikle görüşme sorusunun amacı değildir. Soru sahibi muhtemelen, başvuranın stokastik süreçler, Brownian hareketi, Ito matematiği, vb. Hakkında aktif olarak ne bildiğini ve bu sorunu çözüp çözmeyeceğini değil, problemleri çözme konusunda nasıl gittiğini görmeye çalışmaktadır.

— whuber

3

@shabbychef: P = 1'i dışlamanın bir yolu, olasılık üretme fonksiyonunun evrimini incelemektir. Pgf, t ile başlayarak (1 olan başlangıç popülasyonunu temsil eder) ve t ile tekrarlayarak (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4 ile tekrarlanır. T'nin 1'den küçük herhangi bir başlangıç değeri için, bir grafik kolayca yinelemeleri Sqrt (2) -1'e yaklaştığını gösterir. Özellikle, pgf 1'den uzak durmakta ve her yerde 1'e yakınlaşamayacağını göstermekte ve bu tamamen yok oluşu temsil etmektedir. Bu yüzden “1 mantıklı değil”.

— whuber

21

Zarf hesaplamasının bir kısmı (litteral olarak - masamın etrafında uzanmış bir zarfım vardı) 42/111 (% 38) 'in asla 3'lük bir popülasyona ulaşmama olasılığı veriyor.

Hızlı bir Python simülasyonu yürüttüm, 20 kuşak tarafından kaç popülasyonun öldüğünü (bu noktada genellikle öldüler ya da binlerdeydiler) ve 10000 koşudan 4164'ünü öldürdüm.

Yani cevap% 42'dir.

— Emile
kaynak

9

0.4142, bu yüzden Mike'ın analitik sonucuyla uyumlu. Ve +1, çünkü simülasyonları severim ;-)

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$

2

Ayrıca +1 çünkü simülasyonları severim. Hangisi benim cevabım olurdu;).

— Fomite

7

Bu , aslen soyadların hayatta kalmasını incelemek için formüle edilen Galton Watson süreciyle ilgili . Olasılık, tek bir bölünmeden sonra beklenen alt amiplerin sayısına bağlıdır. Bu durumda beklenen sayı kritik değerden daha büyük olan , ve böylece yok olma olasılığı daha az olan . $3/2,$ $1$ $1$

sonrası beklenen amip sayısını dikkate alarak $k$ bir bölünmeden sonra beklenen sayısı az ise, bölümler, kolayca bu gösterebilir , yok olma olasılığıdır . Sorunun diğer yarısı, hakkında pek emin değilim. $1$ $1$

— shabbychef
kaynak

6

Mike Anderson'un cevabında olduğu gibi , bir amipin soyunun soyu tükenme ihtimalini, çocukların soylarının soyu tükenme ihtimaline eşitleme olasılığını eşitleyebilirsiniz.

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Sonra ebeveynleri ve oğulları soylarının neslinin tükenme olasılığını eşitlediğinde, denklemi elde edersin:

p = \frac{1}{4} p^{3} + \frac{1}{4} p^{2} + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

$p=1$ , kökleri olan $p=\sqrt{2}-1$ ve $p=-\sqrt{2}-1$ .

Kalan soru, cevabın neden olması gerektiğidir. $p=\sqrt{2}-1$ ve $p=1$ değil. Bu mesela bu mükerrerAmip Sorgulama Sorusu'ndasoruluyor: P (N = 0) 1 mi yoksa 1/2 mi? . Gelenshabbychef gelen cevapo biri bakabilirsiniz olduğu açıklanmıştır $E_k$ sonra, nüfusun büyüklüğü beklenti değeri $k$ -inci devision ve ya daraltılması büyüyen olup olmadığını görmek.

Bana göre argümantasyonda bazı dolaylılıklar var ve kanıtlanmış gibi görünmüyor.

Eğer büyüyen bir beklenti değeri olabileceğini notları Whuber yorumların birinde Örneğin $E_k$ ve ayrıca tükenme için olasılığı $k$ bir felaket olayı tanıtmak olabilir Bir örnek olarak bırakanların adım yaklaşımı 1. o tüm amip dışarı mendil popülasyon ve her adımda bir olasılık $x$ ile gerçekleşir . O zaman amip soyu ölmek üzere. Ancak, adım adım nüfus büyüklüğü beklentisi $k$ artmaktadır.
Dahası, cevap yaprakları biz durumun düşünmek gerekeni açtığınızda $E_k = 1$ (bir amip böler eşit veya% 50, olasılık ile bölünmüş vermediğinde, daha sonra bir amip soy olasılığıyla tükenmiş olur mesela neredeyse $1$ satışlardaki $E_k= 1$ )

Alternatif türev.

$p=1$ çözümünün boş bir gerçek olabileceğine dikkat edin . Ebeveynin soyunun soyunun soyunun neslinin soyunun tükenme ihtimaline eşit olması.

Eğer 'çocuğun soyundan için olasılık soyu tükenmiş is için eşit olmak $1$ '.
O zaman 'ebeveynin soyunun neslinin tükenme olasılığı eşittir. $1$ '.

Ancak bu, 'çocuğun soyunun soyu tükenme olasılığının olduğu' olduğu doğru değildir . Bu, özellikle her zaman sıfır olmayan sayıda yavru olacağı zaman açıktır. Örneğin, denklemi hayal edin: $1$

p = \frac{1}{3} p^{3} + \frac{1}{3} p^{2} + \frac{1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Biraz farklı bir şekilde bir çözüme ulaşabilir miyiz?

Let çağrı $p_k$ soy önce soyu tükenmiş almak için olasılık $k$ -inci devision. O zaman biz var:

p_{1} = \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

ve yinelenme ilişkisi

p_{k + 1} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} + \frac{1}{4} p_{k} + p_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

veya

δ_{k} = p_{k + 1} - p_{k} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} - \frac{3}{4} p_{k} + p_{1} = f (p_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

$f(p_k)>1$ $k$ $k$ .

Köke yakınlaşma ve beklenti değeri ile ilişki

Adım kök uzaklığından daha küçükse $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ o zaman bu artış $p_k$ gibi $k$ büyür nerede noktayı geçmez $f(p_\infty) = 0$ .

Bunun (kökü geçmeden) her zaman eğimin / türevinin durumunun geçerli olduğunu doğrulayabilirsiniz. $f(p_k)$ eşittir $-1$ , and this in it's turn is always the case for $0\leq p \leq 1$ and polynomials like $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ with $a_k \geq 0$ .

With the derivative

f^{'} (p) = - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} k p^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$ being in the extreme points equal to

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$ and

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$ you can see that there must be a minimum between

p = 0

$p=0$ and

p = 1

$p=1$ if

E_{1} > 1

$E_1>1$ (and related there must be a root between

0

$0$ and

1

$1$ , thus no certain extinction). And opposite when

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$ there will be no root between

0

$0$ and

1

$1$ , thus certain extinction (except the case when

f (p) = 0

$f(p) = 0$ which occurs when

a_{1} = 1

$a_1 = 1$ ).

— Sextus Empiricus
kaynak