Önce Bayesian vuruş ortalama

Beta dağıtımı sezgisiyle ilgili sorguya mükemmel bir cevaptan esinlenerek bir soru sormak istedim . Vuruş ortalaması için önceki dağıtım için türetme daha iyi anlamak istedim. Görünüşe göre David parametreleri ortalama ve aralıktan alıyor.

Ortalama olduğu varsayımı altında ve standart sapmadır , sen geri dönebilirsin ve bu iki denklemleri çözerek: $0.27$ $0.18$ $\alpha$ $\beta$

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior

— Dimitriy V. Masterov
kaynak

Açıkçası, sadece doğru görünene kadar R'de grafik değerleri tuttum.

— David Robinson,

standart sapmanın .18 olmasını nereden alıyorsunuz?

— appleLover

Bu standart sapmayı nasıl buldunuz? Bunu önceden biliyor muydun?

— Maria Lavrovskaya

Yanıtlar:

Şuna dikkat et:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Bu, varyansın dolayısıyla ortalama olarak ifade edilebileceği anlamına gelir.

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Ortalama $.27$ ve $.18$ standart sapma (varyans $.0324$ ) , sadece hesaplayın:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Artık toplamı bildiğinize göre, $\alpha$ ve $\beta$ kolaydır:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Bu cevabı R’de kontrol edebilirsiniz:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

— David Robinson
kaynak

David, herhangi bir beyzbol araştırmasını takip ediyor musun? Uygun olanı bulmak için birçok rakip teknik var.

yı bulmakyüzden, sadece makul görünen bir grafik bulmaya çalışmaktan başka bir şey yapıp yapmadığınızı merak ediyordum.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Michael McGowan

Sabermetrileri özellikle takip etmiyorum - diğer cevapta, p ile bir binom arasındaki önceliği olan bir tahmin için çok uygun bir örnek sağladı . Sabermetriklerde böyle yapılıp yapılmadığını bile bilmiyorum, ve eğer öyleyse, bıraktığım birçok bileşen olduğunu biliyorum (oyuncular farklı önceliğe sahip, stadyum ayarlamaları, eskilerin son vuruşlarını ağırlıklandıran ...)

— David Robinson

Göz küresinin bu kadar doğru olmasından etkilendim.

— Dimitriy V. Masterov

Merhaba David,

ve bu değerlerinden nasıl elde edilir?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

, sırasıyla 81 ve 219 bağlantılı yayınında eyeballed değerlere?

β = 3.71

$\beta = 3.71$

— Alex,

@Alex İstenen varyans ve standart sapma, beta dağıtım postasından değil .18'lik bir SD talep eden yukarıdaki sorudan gelir. Göz küresi yerine hesaplayacak olsaydım, 59 ve 160 değerlerini vermiş olan .03 gibi bir şey için bir SD tahmin etmiş olabilirdim.

— David Robinson,

Bunu mükemmel cevaba bir yorum olarak eklemek istedim ama uzun sürdü ve cevap biçimlendirme ile daha iyi görünecek.

Akılda tutulması gereken şey bu değil hepsi mümkündür. Bu açık $(\mu, \sigma^2)$ , ancak için sınırlamalar olduğu kadar net değil. $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

David ile aynı akıl yürütmeyi kullanarak ifade edebiliriz

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

Bu α'ya göre , yani en büyüğü $\alpha$ belirli bir için olabilir olan: $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

Bu sadece bir üstünlüktür çünkü geçerli grubu açıktır (yani Beta için olmalı ); bu sınırın kendisi maksimuma çıkarılmıştır. $\alpha$ $\alpha > 0$ . $\mu = \frac12$

$\mu$ $\alpha$ 0'a ve sabitlemesi $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Birlikte ele alındığında, Beta için geçerli araçlar ve varyanslar kümesi:

(Gerçekten de, bu Beta için Wikipedia sayfasında belirtilmiştir )

— MichaelChirico
kaynak