McNemar'ın testi neden normal dağılımı değil ki-kare kullanıyor?

Tam olarak McNemar'ın testinin ki kare asimptotik dağılımı nasıl kullandığını fark ettim. Ancak kesin test (iki vaka tablosu için) binom dağılımına dayandığından, binom dağılımına normal yaklaşımı önermek nasıl yaygın değildir?

Teşekkürler.

— Tal Galili
kaynak

Sezgisel bir cevap:

Aşağıdaki tabloya göre McNemar testi formülüne daha yakından bakın

      pos | neg
----|-----|-----
pos |  a  |  b
----|-----|-----
neg |  c  |  d

McNemar istatistiği Mşu şekilde hesaplanır:

M = \frac{(b - c)^{2}}{b + c}

$M = {(b-c)^2 \over b+c}$

K serbestlik derecesi ile bir dağılımının tanımı, k bağımsız standart normal değişkenlerin karelerinin toplamından oluşmasıdır . 4 sayılar yeterince büyük, eğer ve böylece ve ve normal dağılıma yaklaşık olarak hesaplanabilir. M'nin formülü göz önüne alındığında, yeterince büyük değerlerle gerçekten de 1 serbestlik derecesine sahip yaklaşık bir dağılımını izleyeceği kolayca görülebilir . $\chi^2$ bcb-cb+cM $\chi^2$

EDIT: Başlangıçta doğru bir şekilde belirtildiği gibi, normal yaklaşım aslında tamamen eşdeğerdir. b-cNormal dağılımın yakınlaştırılması kullanılarak yapılan argüman göz önüne alındığında bu oldukça önemsizdir .

Tam binom versiyonu da işaret testine eşdeğerdir, bu versiyonda binom dağılımı ile karşılaştırmak biçin kullanılır . Veya sıfır hipotezi altında b dağılımının ile tahmin edilebildiğini söyleyebiliriz . $Binom(b+c,0.5)$ $N(0.5\times(b+c),0.5^2\times(b+c)$

Veya eşdeğer olarak:

\frac{b - (\frac{b + c}{2})}{\frac{\sqrt{b + c}}{2}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-(\frac{b+c}{2})}{\frac{\sqrt{b+c}}{2}}\sim N(0,1)$

basitleştiren

\frac{b - c}{\sqrt{b + c}} \sim N (0, 1)

$\frac{b-c}{\sqrt{b+c}}\sim N(0,1)$

veya her iki taraftaki kareyi alındığında, . $M \sim \chi^2_1$

Bu nedenle, normal yaklaşık edilir kullanılır. yaklaşımı ile aynıdır . $\chi^2$

— Joris Meys
kaynak

Doğru. Bağlantı belki de Sqrt (M) = (bc) / Sqrt (b + c) dikkate alınarak daha net görülebilir. B'nin b olarak varyansı ve c olarak c olarak varyansı yaklaşık olarak (sayılan verilerle her zamanki gibi), Sqrt (M) 'nin standart sapmasına bölünmüş yaklaşık normal bir değişkene (bc) benzediğini görüyoruz: diğer bir deyişle, standart bir normal değişken gibi görünüyor . Aslında, Sqrt (M) 'yi standart normal dağılım tablosuna başvurarak eşdeğer bir test yapabiliriz. Etkin bir şekilde karesi almak testi simetrik iki kuyruklu yapar. Açıkçası bu, b veya c küçükse parçalanır.

— whuber

Sezgisel cevap için teşekkürler Joris. Yine de, McNemar'ın tam binom testine normal yaklaşımı kullanmak yerine bu yaklaşımı kullanmak neden daha yaygındır?

— Tal Galili

@Tal: Aynı. Aktarmasız yanıtı ve düzenlememi görün.

— Joris Meys

Aslında - son soru. Eğer her ikisi de özdeş ise (ve bc çevresinde "mutlak bir değere de ihtiyacınız olabileceğini düşünüyorum), o zaman neden normal ile kalmak yerine chi dağılımına gidiyor? Avantajı nerede?

— Tal Galili

@Tal: R.'nin chi2'yi bir derece serbestlikle çizdiğini biliyorsun, göreceksin.

— Joris Meys

İki yaklaşım aynı şeye gelmeyecek mi? İlgili ki-kare dağılımının bir serbestlik derecesi vardır, bu yüzden rastgele bir değişkenin karesinin standart bir normal dağılımla dağılımıdır. Kontrol etmek için cebirden geçmek zorundayım, ki şu anda yapacak zamanım yok, ama her iki şekilde de aynı cevabı vermezseniz şaşırırdım.

— bir durak
kaynak

daha fazla ayrıntı için cevabımı gör

— Joris Meys

Hi onestop - Her ikisi de asimptotik olduğundan, daha küçük N'ler için biraz farklı sonuçlar verebilirler. Böyle bir durumda, ki-kare ile gitme seçiminin normal yaklaşımdan daha iyi olması ya da tarihsel nedenlerden (ya da belki de önerdiğiniz gibi - her zaman aynı sonuçları

— vermesinden

@Tal: daha küçük N için, ikisi de tutmuyor. Düzenlememde de gösterildiği gibi, bunlar tamamen aynı.

— Joris Meys