“Sınırlama” ve “durağan” dağılımlar arasındaki fark nedir?

Markov zincirleri hakkında bir soru yapıyorum ve son iki kısım bunu söylüyor:

• Bu Markov zincirinin sınırlayıcı bir dağılımı var mı? Cevabınız "evet" ise, sınırlayıcı dağılımı bulun. Cevabınız "hayır" ise, nedenini açıklayın.
• Bu Markov zinciri sabit bir dağılıma sahip mi? Cevabınız "evet" ise, sabit dağılımı bulun. Cevabınız "hayır" ise, nedenini açıklayın.

Fark ne? Kullanarak çabaladığında Daha önce, sınırlayıcı dağıtım düşünce ama bu 'inci aşaması geçiş matrisi. Sabit dağılım olduğunu düşündüğüm kullanarak sınırlama dağılımını hesapladılar . n Π = Π $P = CA^n C^{-1}$$n$$\Pi = \Pi P$

Hangisi o zaman?

Gönderen Stokastik Modelleme An Introduction Pinsky ve Karlin'in (2011) tarafından:

Sınırlayıcı bir dağılım, varsa, her zaman sabit bir dağılımdır, ancak tersi doğru değildir. Sabit bir dağılım olabilir, ancak sınırlayıcı bir dağıtım yoktur. Örneğin, geçiş olasılığı matrisi ancak , olduğu için sabit bir dağıtımdır (s. 205). π = (

$$\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$$ ($\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ $$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

Bir önceki bölümde, zaten bir "tanımlanmış olan kısıtlayıcı olasılık dağılımını " tarafından$\pi$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$

ve eşit olarak

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$$ (s. 165).

Yukarıdaki örnek deterministik olarak salınmaktadır ve bu nedenle dizisi bir sınıra sahip şekilde bir sınıra sahip değildir.$\{1,0,1,0,1,\dots\}$

---

Düzenli bir Markov zincirinin (tüm n-adım geçiş olasılıklarının pozitif olduğu) her zaman sınırlayıcı bir dağılımı olduğunu ve bunun benzersiz bir negatif çözüm olması gerektiğini kanıtlarlar.

$$\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$$ (s. 168 )

Sonra örnekle aynı sayfada,

Herhangi bir set tatmin edici (4.27) Markov zincirinin sabit olasılık dağılımı olarak adlandırılır . "Sabit" terimi, sabit bir dağılıma göre başlatılan bir Markov zincirinin bu dağılımı her zaman takip edeceği mülkten türetilir. Resmi olarak, , tüm . Pr { X 0 = i } = π i Pr { X n = i } = π i n = 1 , 2 , $(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$$\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$$\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$$n=1,2,\dots$

burada (4.27) denklemler kümesidir

$$\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$$

Bu, sonsuz sayıda durum dışında, yukarıdakiyle tamamen aynı durağanlık koşulu.

Durağanlığın bu tanımı ile, sayfa 168'deki ifade geriye dönük olarak şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

1. Düzenli bir Markov zincirinin sınır dağılımı, sabit bir dağılımdır.
2. Bir Markov zincirinin sınır dağılımı sabit bir dağılımsa, sabit dağıtım benzersizdir.

Sabit bir dağılımı, bir dağıtım aşaması en durumları üzerinde dağılımı eğer olan da daha sonra, aşama de devletler üzerinde dağıtım olduğunu . Olduğunu, A sınırlayan dağılımı böyle bir dağıtım o ilk dağıtım olduğu için devletler yakınsak üzerinde dağılımı ne olursa olsun sayısı olarak adımlar sonsuza gider: bağımsızk π k + 1 π π = π p . π π lim k → ∞ iken π ( 0 ) p k = π , π ( 0 ) { h e bir gün içindeki s , t bir i l s } p = ( 0 1 1 0 ) . π ( 0 ) = ( 0.5 $\pi$$k$$\pi$$k+1$$\pi$

$$\begin{equation} \pi = \pi P. \end{equation}$$ $\pi$$\pi$ $$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty} \pi^{(0)} P^k = \pi, \end{equation}$$ $\pi^{(0)}$. Örneğin, iki durumu madalyonun kenarları olan bir Markov zincirini ele alalım, . Her adım, bozuk parayı ters çevirmekten oluşur (olasılıkla 1). Devlet dağılımlarını hesapladığımızda bunların önceki adımlara bağlı olmadığını, yani olasılıkları hesaplayan adamın parayı görmediğini unutmayın. Dolayısıyla, geçiş matrisi Bozuk parayı ilk önce rastgele çevirerek başlatırsak ( ), ardından sonraki tüm zaman adımları bu dağılımı takip eder. (Eğer adil bir para çevirirseniz ve sonra ters çevirirseniz, kafa olasılığı hala ). Böylece,$\{heads, tails\}$ $$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $\pi^{(0)} = \begin{pmatrix}0.5 & 0.5\end{pmatrix}$$0.5$$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$ , bu Markov zinciri için sabit bir dağıtımdır.

Bununla birlikte, bu zincirin sınırlayıcı bir dağılımı yoktur: diyelim ki bozuk parayı olasılıklı kafalar olacak şekilde başlattık . Daha sonra, sonraki tüm durumlar başlangıç ​​durumu tarafından belirlendiği için, eşit sayıda adımdan sonra, durum olasılığı olan kafalardır ve tek sayıda adımdan sonra durum olasılığı olan kafalardır . Bu, kaç adım atılmış olursa olsun, devletler arasındaki dağılımın bir sınırı yoktur.$2/3$$2/3$$1/3$

Şimdi, işlemi her adımda, jetonu mutlaka çevirmeyecek şekilde değiştirelim. Bunun yerine, kişi bir kalıp atar ve sonuç ise, madeni para olduğu gibi kalır . Bu Markov zincirinin geçiş matrisi Matematiğin üzerinden geçmeden, bu işlemin dönüşü rastgele atlaması nedeniyle ilk durumu 'unutacağını' göstereceğim. Çok sayıda adımdan sonra , madalyonun nasıl başlatıldığını bilsek bile , kafa olasılığı yakın olacaktır . Bu nedenle, bu zincirin sınırlayıcı dağılımı .$6$

$$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1/6 & 5/6 \\ 5/6 & 1/6 \end{pmatrix}. \end{equation}$$ $0.5$$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

Notasyonu bir kenara bırakmak, "sabit" kelimesi "oraya vardığınızda orada kalacağınız anlamına gelir"; "sınırlayıcı" ifadesi ise, yeterince ilerlerseniz oraya ulaşırsınız. Sadece bunun yararlı olabileceğini düşündüm.