Çok değişkenli bağımlılıkla eklem dağılımından marjinal dağılım nasıl bulunur?

Ders kitabımdaki sorunlardan biri şu şekildedir. İki boyutlu stokastik sürekli bir vektör aşağıdaki yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

ve marjinal yoğunluk fonksiyonlarının olduğunu gösterin : $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

I yoğunluk fonksiyonu anlamak entegre ederek hesaplanır gelen ile göre . Ancak tamamen kayboldum , nereden geliyor? İ entegre ise ile ile ilgili olarak sonra sadece elde ve neden olan aralığı ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

desteğini grafikledim, mavi olduğu tüm değerler : $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

X $, Y $ desteği

— soren.qvist
kaynak

Bu destek bir resmini çizmek için yardımcı olabilecek (kümesidir kendisi için ). Bu, bazı sorularınıza hemen cevap vermelidir.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber Tamam, bu yüzden desteği grafikledim ve sanırım neden 0 <y <1 olduğunu anlıyorum, çünkü x sadece 0 <x <1'de tanımlandığından ve 0 <y <x olduğundan doğal olarak y'nin sadece 0'dan 1'e kadar tanımlanmış, doğru mu? Ama hala (1-y ^ 2) bölümünü anlamıyorum.

— soren.qvist

İpucu: marjinal yoğunluğu bir integrali ait sabit bir değeri için, ,

, yalnızca için sıfır olmayan bir

tatmin

. Yani,

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

parçasının geldiğiyer burasıdır.

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate

İpucu Dilip için teşekkürler, korkarım ki tam olarak anlamıyorum. ".. sabit bir

değeri için ,

, yalnızca

değerini karşılayan

için sıfır değildir ." Grafikteki mavi bölgeden mi bahsediyorsunuz?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist Evet. Grafikteki mavi bölgeden bahsediyorum.

, bir integral (eğrinin altındaki alan) bir fonksiyonu arasında

değerine sahiptir

ise

arasındadır

(mavi alan) ve

, aksi. Diğer sabit

değerleri için tekrarlayın ve her seferinde

sayısal değerinin

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ seçilen

değerini, yanıt sayfanızda verilen

ifadesine "takarak" elde edilen rakamla aynı olur . Sonra "Hey anne, sanırım bir model görüyorum!" anlıyorsunuz ve

nin gösterilen integrale eşit olduğunu anlıyorsunuz .

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Dilip Sarwate

$f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

$X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
kaynak