Gamma rasgele değişkenlerinin farkı

İki bağımsız rastgele değişken ve verildiğinde, farkın dağılımı nedir, yani ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

Sonuç iyi bilinmiyorsa, sonucu nasıl elde edebilirim?

distributions gamma-distribution

— FBC
kaynak

İlgili olabileceğini düşünüyorum: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

Ne yazık ki ilgili değil, bu yazı, ağırlıkların kesinlikle pozitif olduğu Gamma rastgele değişkenlerinin ağırlıklı toplamını dikkate alıyor. Benim durumumda ağırlıklar sırasıyla +1 ve -1 olurdu.

— FBC

Moschopoulos makalesi, yöntemin doğrusal kombinasyonlara genişletilebileceğini iddia ediyor, ancak yeniden ölçeklendirmenin 0'dan büyük ağırlıklarla sınırlı olduğu konusunda haklısınız.

— Dimitriy V. Masterov

İki ölçek faktörü aynı olmadıkça, basit veya kapalı formda bir şey türetmek için çok az umut vardır.

— whuber

Sadece küçük bir açıklama: Aynı parametreye sahip üstel olarak dağıtılmış RV'lerin özel durumu için sonuç Laplace'dır ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

Soruna nasıl yaklaşılabileceğini ana hatlarıyla anlatacağım ve şekil parametreleri tamsayı olduğunda, ancak ayrıntıları doldurmadığında özel sonuç için neyin nihai sonuç olacağını düşünüyorum.

İlk olarak, içindeki değerleri aldığını ve bu nedenle nin desteğine sahip olduğuna dikkat edin . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
İkincisi, standart sonuçlardan, iki bağımsız sürekli rasgele değişkenin toplamının yoğunluğunun yoğunluklarının kıvrılması olduğu, yani ve rastgele değişken yoğunluğunun ,
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Üçüncü olarak, negatif olmayan rastgele değişkenler ve , yukarıdaki ifadenin $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Son olarak, yoğunluğuna sahip rastgele bir değişkeni ifade etmek için parametreler kullanmak $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
kaynak

+1: Bu soruna daha önce baktığımda, bu yanıtı büyüleyici buluyorum.

— Neil G

Kapalı form çözümü olmasa da bu cevabı kabul edeceğim. Olabildiğince yakın, teşekkürler!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

Bildiğim kadarıyla, iki bağımsız gamma rv'sinin farkının dağılımı ilk olarak 1993 yılında Mathai tarafından incelendi. Kapalı bir form çözümü elde etti. Çalışmalarını burada çoğaltmayacağım. Bunun yerine sizi orijinal kaynağa yönlendireceğim. Kapalı form çözümü sayfa 241'de teorem 2.1 olarak makalesinde bulunabilir. Normal değişkenlerdeki kuadratik formların merkezi olmayan genelleştirilmiş Laplacianness'i .

— Nathan Crock
kaynak