Welch'in testinin serbestlik derecesi her zaman toplanan testin DF'sinden daha mı düşük?

Temel istatistikler hakkında bir ders veriyorum ve eşit olmayan varyanslara sahip iki bağımsız örnek için t testi yapıyoruz (Welch testi). Gördüğüm örneklerde, Welch testi tarafından kullanılan ayarlanmış serbestlik dereceleri her zaman küçük veya ona eşittir . $n_1+n_2-2$

Her zaman böyle mi? Welch testi, toplanmış (eşit varyanslar) t-testinin serbestlik derecelerini her zaman azaltır mı (veya değişmeden bırakır)?

Aynı konuda, eğer örnek standart sapmalar eşitse, Welch testinin DF'leri mu? Formüle baktım ama cebir dağınık hale geldi.$n_1+n_2-2$

Evet.

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

İşte 'resmi' referanslar (yukarıdaki ayarın - tipik olarak kullanılan - ikinci kağıtta elde edildiğini unutmayın):

• Welch, BL (1938). "Popülasyon varyansları eşit olmadığında iki araç arasındaki farkın önemi". Biometrika, 29, 3/4 , sayfa 350-62 .
• Satterthwaite, FE (1946). Msgstr "Varyans Bileşenlerinin Tahminlerinin Yaklaşık Dağılımı". Biyometri Bülteni, 2, 6 , s. 110–114 .
• Welch, BL (1947). "Farklı popülasyon farklılıkları söz konusu olduğunda" Öğrenci "probleminin genelleştirilmesi". Biometrika, 34, 1/2 , s. 28-35 .

(Google'da bunlardan söz edilmemiş sürümler bulunabilir.)