Markov zincirlerinde periyodiklik için sezgisel açıklama

Birisi bana bir Markov zincirinin periyodikliğinin ne olduğunu sezgisel bir şekilde açıklayabilir mi?

Aşağıdaki gibi tanımlanır:

Hepsi için devletler de$i$$S$

$d_i$ = gcd$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

Emeğiniz için teşekkür ederiz!

Her şeyden önce, tanımınız tamamen doğru değil. İşte Cyan'ın önerdiği gibi wikipedia'dan doğru tanım.

Periyodiklik (kaynak: wikipedia )

Eğer bir i durumuna geri dönüş herhangi bir k zaman adımının katlarında meydana gelmesi gerekiyorsa, bir i durumu k periyoduna sahiptir. Resmi olarak, bir devletin dönemi şu şekilde tanımlanır:

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(burada "gcd" en büyük ortak bölendir). Bir durumun k periyodu olmasına rağmen, duruma k adımda ulaşmak mümkün olmayabilir. Örneğin, {6, 8, 10, 12, ...} zaman adımlarında duruma dönmenin mümkün olduğunu varsayalım; Bu listede 2 görünmese de k 2 olur.

K = 1 ise, durumun aperiodic olduğu söylenir: i durumuna geri döner, düzensiz zamanlarda ortaya çıkabilir. Diğer bir deyişle, eğer tüm n '≥ n için n varsa, bir i durumu aperiodiktir,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

Aksi takdirde (k> 1), durumun k periyodu ile periyodik olduğu söylenir. Bir Markov zinciri, her durum aperiodik ise aperiyodiktir.

Açıklamam

Periyodiklik terimi, bir şeyin (bir olay veya burada: belirli bir devletin ziyareti) düzenli bir zaman aralığında olup olmadığını açıklar. Burada zaman, ziyaret ettiğiniz durumların sayısı ile ölçülür.

İlk Örnek:

Şimdi saatin bir markov zincirini temsil ettiğini ve her saatin bir durumu işaretlediğini hayal edin, bu yüzden 12 eyaletimiz var. Her durum olasılıkla = 1 olan her 12 saatte bir (eyaletler) saat ibresi tarafından ziyaret edilir, bu nedenle en büyük bölen de 12'dir.

Yani her (hour-) durumu 12 periyodu ile periyodiktir.

İkinci örnek:

Bir grafik durumu başlayarak, para fırlatır bir sırasını tarif düşünün ve devlet h e bir d ler ve T , bir i l s atmak geçen paranın sonucunu temsil etmektedir.$start$$heads$$tails$

Geçiş olasılığı, -> s t a r t ve t a i l s -> s t a r t olmak üzere her durum çifti (i, j) için 0'dır.$heads$$start$$tails$$start$

$heads$$heads$$heads$$heads$

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd