Bir tenis maçı tek bir büyük set olsaydı, kaç oyun aynı doğruluğu verirdi?

Tenis'in kendine özgü üç kademeli bir puanlama sistemi var ve daha iyi bir oyuncuyu belirlemek için bir deney olarak bir maç açısından herhangi bir istatistiksel faydası olup olmadığını merak ediyorum.

Bilmediğiniz kişiler için, normal kurallarda bir oyun ilk 4 puana kadar kazanır, ancak 2 puan önde olduğunuzda (yani 4-2 ise kazanırsınız, ancak 4-3'te 1 puan daha gerekir ve saklayın. bir oyuncu 2 önde oluncaya kadar).

Bir set daha sonra bir oyun koleksiyonudur ve ilk setten 6'ya bir set kazanır, yine 2 ile kazanmak zorunda kalır, ancak bu süre devam etmek yerine özel bir tie-break oyunu oynanır (son Wimbledon seti hariç). ..)

Müsabakaya bağlı olarak maç ilk 2 veya 3 set ile kazanılır.

Şimdi, tenis de oyunların haksız olması bakımından tuhaf. Herhangi bir nokta için sunucunun büyük bir avantajı vardır, bu nedenle her oyunun sunucusu değişmektedir.

Bir tie-breaker oyununda servis her noktadan sonra değişiyor ve yine 2 puanlık bir kurşun ile ilk 7 puana ulaşıyor.

Diyelim ki A oyuncusu ve alırken puan kazanma olasılığına sahip . $p_s$ $p_r$

Soru şudur, diyelim ki

A) sadece büyük bir "N oyunların en iyisi" maçı olarak tenis oynadı, kaç oyun normal 5 set teninin en iyisiyle aynı doğruluğu verecekti

B) büyük bir tiebreaker oyunu olarak tenis oynadı, kaç puan normal 5 set tenis en iyi aynı doğruluk verecek?

Açıkçası bu cevaplar ve değerlerinin kendilerine bağlı olacaktır , bu yüzden bilmek de iyi olacaktır $p_s$ $p_r$

C) Normal , varsayıldığında, normal teniste oynanan beklenen oyun ve puan sayısı nedir $p_s$ $p_r$

"Doğruluk" un tanımlanması

Her iki oyuncunun yeteneğinin sabit kaldığını varsayarsak, o zaman sonsuz bir süre oynarlarsa, bir veya diğer oyuncu oyun biçimine bakılmaksızın neredeyse kesinlikle kazanırdı. Bu oyuncu "doğru" kazanır. Doğru kazananın olan oyuncu olduğundan eminim . $p_r+p_s > 1$

Daha iyi bir oyun biçimi, oynanan aynı sayıda puan için doğru kazananı daha sık üreten veya tersine oynanan birkaç puanda eşit olasılıkla doğru kazananı üreten bir formattır.

probability inference games

— Corone
kaynak

Sadece 5. sette Wimbledon, Avustralya Açık ve Fransız Açık'ta bir kravat kırıcı yok. İlk 4 set kravat kırıcılarla oynanır.

— mpiktas

"Doğruluk" ile tam olarak ne demek istiyorsun? "Daha iyi oyuncu ne sıklıkta kazanacak?" Her durumda, iki parametreye değil, dört parametreye ihtiyacınız vardır; ve tersi olsa da, her oyuncu için ve gerekir . Bazı kulüp oyuncuları dünya standartlarında bir oyuncu , belki , . Bunu anlamanın en kolay yolunun bilgisayar yoğun bir yöntemle olacağını düşünüyorum. Analitik olarak anlayabilirsiniz, ancak hesaplamalar yoğunlaşacaktı.

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

p 1_{s} = 1 - p 2_{r}

$p1_s = 1 - p2_r$

p 1_{s} = .01

$p1_s = .01$

p 1_{r} = .001

$p1_r = .001$

— Peter Flom - Monica'yı eski durumuna döndürün

Sadece ölçüm yöntemleri arasında bir karşılaştırma yapmak istediğimiz için ve oyuncu becerisi arasındaki ilişkinin dışında kalabileceğini düşünüyordum. Yani eğer ise verilen herhangi bir eşleşme için oyuncu 1 kazanmalıdır (yani ortalama puan kazanma yeteneği% 50'yi aşar). Daha iyi bir turnuva bunu daha sık başarır.

p_{s / r}

$p_{s/r}$

p_{s} + p_{r} > 1

$p_s + p_r > 1$

— Corone

"Aynı doğruluk" ile, belirli bir oyuncunun kazanma olasılığının her iki formatta da aynı mu (sabit bir ve ?)

p_{s}

$p_s$

p_{r}

$p_r$

— Michael McGowan

Size oyun oynamak ise sen tarafından kazanmak zorunda noktaları, , oyuncuların 6 puan oynayabilir varsayabiliriz. Eğer hiçbir oyuncu kazanamazsa , skor bağlanır ve daha sonra bir oyuncu her ikisini de kazanana kadar puan çiftleri oynarsınız. Bu , her puanı kazanma şansınız olduğunda, puana oyun kazanma şansı , $4$ $2$ $2$ $3-3$ $4$ $p$

p^{6} + 6 p^{5} (1 - p) + 15 p^{4} (1 - p)^{2} + 20 p^{3} (1 - p)^{3} \frac{p^{2}}{p^{2} + (1 - p)^{2}}

$p^6 + 6p^5(1-p) + 15p^4(1-p)^2 + 20 p^3(1-p)^3 \frac{p^2}{p^2 + (1-p)^2}$ .

Üst düzey erkek oyununda sunucu için yaklaşık olabilir . ( Erkekler ikinci olurdu .) Bu formüle göre, servis tutma şansı yaklaşık . $p$ $0.65$ $0.66$ $82.96\%$

Diyelim ki puanlık bir tiebreak oynuyorsunuz . Puanların, her oyuncunun her bir çiftten birine hizmet ettiği çiftler halinde oynandığını varsayabilirsiniz. İlk kimin hizmet ettiği önemli değil. Oyuncuların puan oynadığını varsayabilirsiniz . Bu noktada bağlanırlarsa, bir oyuncu bir çiftin ikisini de kazanana kadar çifti oynarlar, bu da koşullu kazanma şansının olduğu anlamına gelir . Doğru hesaplarsam, bir tiebreak oyuncuyu puan kazanma şansı $7$ $12$ $p_sp_r/(p_sp_r + (1-p_s)(1-p_r))$ $7$

6 p_{r}^{6} p s + 90 p_{r}^{5} p_{s}^{2} - 105 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 300 p_{r}^{4} p_{s}^{3} - 840 p_{r}^{5} p_{s}^{3} + 560 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 300 p_{r}^{3} p_{s}^{4} - 1575 p_{r}^{4} p_{s}^{4} + 2520 p_{r}^{5} p_{s}^{4} - 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 90 p_{r}^{2} p_{s}^{5} - 840 p_{r}^{3} p_{s}^{5} + 2520 p_{r}^{4} p_{s}^{5} - 3024 p_{r}^{5} p_{s}^{5} + 1260 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + 6 p_{r} p_{s}^{6} - 105 p_{r}^{2} p_{s}^{6} + 560 p_{r}^{3} p_{s}^{6} - 1260 p_{r}^{4} p_{s}^{6} + 1260 p_{r}^{5} p_{s}^{6} - 462 p_{r}^{6} p_{s}^{6} + \frac{p_{r} p_{s}}{p_{r} p_{s} + (1 - p_{r}) (1 - p_{s})} (p_{r}^{6} + 36 p_{r}^{5} p_{s} - 42 p_{r}^{6} p_{s} + 225 p_{r}^{4} p_{s}^{2} - 630 p_{r}^{5} p_{s}^{2} + 420 p_{r}^{6} p_{s}^{2} + 400 p_{r}^{3} p_{s}^{3} - 2100 p_{r}^{4} p_{s}^{3} + 3360 p_{r}^{5} p_{s}^{3} - 1680 p_{r}^{6} p_{s}^{3} + 225 p_{r}^{2} p_{s}^{4} - 2100 p_{r}^{3} p_{s}^{4} + 6300 p_{r}^{4} p_{s}^{4} - 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{4} + 3150 p_{r}^{6} p_{s}^{4} + 36 p_{r} p_{s}^{5} - 630 p_{r}^{2} p_{s}^{5} + 3360 p_{r}^{3} p_{s}^{5} - 7560 p_{r}^{4} p_{s}^{5} + 7560 p_{r}^{5} p_{s}^{5} - 2772 p_{r}^{6} p_{s}^{5} + p_{s}^{6} - 42 p_{r} p_{s}^{6} + 420 p_{r}^{2} p_{s}^{6} - 1680 p_{r}^{3} p_{s}^{6} + 3150 p_{r}^{4} p_{s}^{6} - 2772 p_{r}^{5} p_{s}^{6} + 924 p_{r}^{6} p_{s}^{6})

$6 p_r^6 ps + 90 p_r^5 p_s^2 - 105 p_r^6 p_s^2 + 300 p_r^4 p_s^3 - 840 p_r^5 p_s^3 + 560 p_r^6 p_s^3 + 300 p_r^3 p_s^4 - 1575 p_r^4 p_s^4 + 2520 p_r^5 p_s^4 - 1260 p_r^6 p_s^4 + 90 p_r^2 p_s^5 - 840 p_r^3 p_s^5 + 2520 p_r^4 p_s^5 - 3024 p_r^5 p_s^5 + 1260 p_r^6 p_s^5 + 6 p_r p_s^6 - 105 p_r^2 p_s^6 + 560 p_r^3 p_s^6 - 1260 p_r^4 p_s^6 + 1260 p_r^5 p_s^6 - 462 p_r^6 p_s^6 + \frac{p_r p_s}{p_r p_s + (1-p_r)(1-p_s)}(p_r^6 + 36 p_r^5 p_s - 42 p_r^6 p_s + 225 p_r^4 p_s^2 - 630 p_r^5 p_s^2 + 420 p_r^6 p_s^2 + 400 p_r^3 p_s^3 - 2100 p_r^4 p_s^3 + 3360 p_r^5 p_s^3 - 1680 p_r^6 p_s^3 + 225 p_r^2 p_s^4 - 2100 p_r^3 p_s^4 + 6300 p_r^4 p_s^4 - 7560 p_r^5 p_s^4 + 3150 p_r^6 p_s^4 + 36 p_r p_s^5 - 630 p_r^2 p_s^5 + 3360 p_r^3 p_s^5 - 7560 p_r^4 p_s^5 + 7560 p_r^5 p_s^5 - 2772 p_r^6 p_s^5 + p_s^6 - 42 p_r p_s^6 + 420 p_r^2 p_s^6 - 1680 p_r^3 p_s^6 + 3150 p_r^4 p_s^6 - 2772 p_r^5 p_s^6 + 924 p_r^6 p_s^6)$

Eğer ardından tie-kesici kazanma şansı hakkındadır . $p_s=0.65, p_r=0.36$ $51.67\%$

Sonra bir set düşünün. İlk kimin hizmet ettiği önemli değil, bu da uygun, çünkü aksi takdirde servis tutarken bir sonraki servis setini kazanırken seti kazanmayı düşünmeliyiz. oyunda bir set kazanmak için , önce oyun oynandığını hayal edebilirsiniz . Skor bağlıysa oyun daha oyna . Bunlar kazananı belirleyemezse, bir kravat kırıcı oynayın veya beşinci sette sadece oyun çiftlerini tekrarlayın. Izin vermek hizmet tutma olasılığı olmak, ve izin $6$ $10$ $5-5$ $2$ $p_h$ $p_b$ rakibinizin servisini kırma olasılığı olabilir, bu da yukarıda bir oyun kazanma olasılığından hesaplanabilir. Bir tiebreak olmadan bir dizi kazanmak için şans biz oynuyor hariç, bir kravat-kesici kazanma şansı ile aynı temel formülü izleyen yerine kadar olan oyunlarda puan ve biz yerine tarafından ve tarafından . $6$ $7$ $p_s$ $p_h$ $p_r$ $p_b$

Koşullu olasılığı olan bir beşinci grubu (bir bağlayıcı-kesici ile bir dizi) kazanmak için ve olan . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.59\%$

İle tie-kesici ile bir dizi kazanmak için şans ve olan . $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $53.30\%$

Şans bir iyi kazanmak için setleri ile, beşinci sette hiç kravat kesicisi, maç ve olan . $5$ $p_s=0.65$ $p_r=0.36$ $56.28\%$

Peki, bu kazanım oranları için, aynı ayrımcı güce sahip olması için bir sette kaç oyun olması gerekir? İle , sen bir set kazanır olağan tiebreaker ile oyunlarda ve bir dizi kazanmak olası bir tiebreaker ile oyun zamanın. Kravat kırıcı olmadan, normal bir maç kazanma şansı, ve uzunluk kümeleri arasındadır . Sadece tek bir büyük kravat-kırıcı oynuyorsanız, uzunlukta bir kravat-kesici kazanma şansı olan ve uzunluğunun olduğu . $p_s=0.65, p_r=0.36$ $24$ $56.22\%$ $25$ $56.34\%$ $23$ $24$ $113$ $56.27\%$ $114$ $56.29\%$

Bu, bir dev setin oynamasının en iyi 5 maçtan daha verimli olmadığını, ancak bir dev kravat kırıcısının oynamanın, en azından avantajlı bir hizmete sahip olan yakın eşleşen rakipler için daha verimli olacağını göstermektedir.

İşte Mart 2013 GammonVillage sütunumdan bir oyun, "Oyun, Küme ve Maç". Para avantajlarını sabit bir avantajla ( ) düşündüm ve bir büyük maç mı yoksa bir dizi daha kısa maç oynamanın daha mı verimli olduğunu sordum: $51\%$

... Üçün en iyisi tek bir uzun maçtan daha az verimli ise, beşten en iyisinin daha kötü olmasını bekleyebiliriz. Tek bir maçı kazanma şansına çok yakın, olasılık ile beş puanlık en iyi maçı kazanırsınız . en iyi olan ortalama maç sayısı , bu nedenle ortalama oyun sayısı . Tabii ki bu, olan bir maçta mümkün olan maksimum oyun sayısından daha fazla ve ortalama . Daha uzun bir maç serisi daha da az verimli görünüyor. $13$ $57.51\%$ $45$ $4.115$ $4.115 \times 21.96 = 90.37$ $45$ $82.35$

Başka bir seviye, üç maçın en iyi üç serisinin en iyisi ne dersiniz ? Her seri bir maç gibi olacağından , bu dizi serisi üç maçın en iyisi gibi olacak , sadece daha az verimli ve uzun bir maç bundan daha iyi olurdu. Yani, uzun bir maç bir dizi seriden daha verimli olacaktır. $13$ $29$ $29$

Bir dizi maçı bir uzun maçtan daha az verimli yapan nedir? Bunları, hangi oyuncunun daha güçlü olduğuna karar vermek için kanıt toplamak için istatistiksel testler olarak düşünün. Üç maçın en , puanlı bir seri kaybedebilirsiniz . Bu , rakibinizin maç kazanacağınız , ancak rakibinizin seriyi kazanacağı anlamına gelir . Bir bozuk para atarsanız ve kafa ve kuyruk alırsanız, kafaların kuyruklardan daha olası olduğuna dair kanıtlarınız vardır, kuyrukların kafalardan daha olası olduğunu göstermezsiniz. Yani, üç maçın en iyisi verimsiz olduğu için verimsizdir. Bir dizi maç ortalama olarak daha fazla veri gerektirir, çünkü bazen daha az oyun kazanan oyuncuya zafer kazandırır. $13-7 ~~ 12-13 ~~ 11-13$ $36$ $33$ $36$ $33$

— Douglas Zare
kaynak

Kesinlikle inanılmaz! En büyük lateks ifadesi için bir rozet var mı? Sonucu anlamıyorum - kesinlikle 25 oyun genellikle oynandığından daha az mı? Eğer beşinci sete giderse en az 30 oyun oynarsınız ve hatta 6: 4 6: 4 6: 4 galibiyet 30 oyun olur?

— Corone

İçin ayarlanan oyun size bir skorla kazanmak olabileceği anlamına gelir olurdu oyunları.

25

$25$

25 - 20

$25-20$

45

$45$

— Douglas Zare

Ah evet, üzgünüm, mantıklı. Mükemmel cevap.

— Corone

Na-ah, uzun önemseyen ... Douglas eğer olasılıklarla güzel bir kontur grafiği sunacak olsaydı, bu harika olurdu;).

L A T E X

$\LaTeX$

— StasK

Bu makalede kravat kırıcıların analizi ve daha güçlü sunucuları tercih edip etmedikleri incelenmiştir: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks

— Douglas Zare