Nasıl bir beklenti hesaplarım

Eğer katlanarak dağıtılır parametresi ve 'in karşılıklı bağımsız, beklentisi ne $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

bakımından ve ve muhtemelen diğer sabitler? $n$ $\lambda$

Not: Bu soru /math//q/12068/4051 adresinde matematiksel bir yanıt almıştır . Okuyucular da buna bir göz atacaklardı.

expected-value exponential gamma-distribution

— Isaac
kaynak

Bu sorunun iki kopyası birbirini referans alır ve uygun bir şekilde istatistik sitesi (burada) istatistiksel bir cevaba sahiptir ve matematik sitesi matematiksel bir cevaba sahiptir. İyi bir bölünme gibi görünüyor: dursun!

— whuber

Yanıtlar:

Eğer (bağımsız altında), o zaman, , yani y dağıtılır (bakınız wikipedia ). Yani, sadece . Yana , bildiğimiz . Bu nedenle, ( gama dağılımının beklentisi ve varyansı için wikipedia'ya bakın ). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Wolfgang
kaynak

Teşekkürler. Birkaç dakika önce math.stackexchange'te (sorunun üstündeki bağlantı) soruyu cevaplamanın çok temiz bir yolu da sağlandı.

— Wolfgang

Matematik cevabı, integralleri beklenti doğrusallığını kullanarak hesaplar. Bazı yönlerden daha basit. Ama çözümünüzü beğendim çünkü istatistiksel bilgiyi kullanıyor: bağımsız Üstel değişkenlerin toplamının Gamma dağılımı olduğunu bildiğiniz için işiniz bitti.

— whuber

Biraz keyif aldım ve hiçbir şekilde bir istatistikçi ya da matematikçi değilim.

— Kortuk

çok zarif bir cevap.

— Cyrus S

@Dilip Matematikçi bu soruyu bir integral isterken görme eğilimindedir ve doğrudan entegre etmeye devam eder. İstatistikçi, varyans gibi bilindik istatistiksel nicelikler ve Üstel Gama olduğu ve Gama ailesinin kıvrım altında kapalı olduğu gibi bilindik istatistiksel ilişkiler açısından onu yeniden ifade eder. Cevaplar aynı ama yaklaşımlar tamamen farklı. Sonra "entegrasyon yapmak" ın ne anlama geldiği sorusu var. Örneğin, bu karmaşık integral tamamen cebirsel olarak yapılır.

— whuber

Yukarıdaki cevap çok güzel ve soruyu tamamen cevaplıyor, ancak bunun yerine, bir toplamın beklenen karesi için genel bir formül sunacağım ve burada belirtilen özel örneğe uygulayacağım.

Sabitler herhangi bir set için bu bir gerçektir ki $a_1, ..., a_n$

{(Σ_{ben = 1}^{n} {bir}_{ben})}^{2} = Σ_{ben = 1}^{n} Σ_{j = 1}^{n} {bir}_{ben} {bir}_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

bundan doğrudur Dağıtım mülkiyet ve hesapladığımız zaman ne yaptığınızı göz önüne aldığımızda netleşiyor elle. $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Bu nedenle, rastgele değişkenin bir örnek için , dağılımlarına bakılmaksızın, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

bu beklentilerin mevcut olması şartıyla.

Problem örnekte, olan iid söyler rastgele değişkenler, bu ve her biri için . Bağımsızlık olarak, için $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ , bizde var $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{ben}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

Orada toplamı bu terimlerin. Ne zaman , elimizdeki $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{ben} X_{j}) = E (X_{ben}^{2}) = v bir r (X_{ben}) + E (X_{ben})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

ve orada toplamı bu terimin. Bu nedenle, yukarıdaki formülü kullanarak, $n$

E {(Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben})}^{2} = Σ_{ben = 1}^{n} Σ_{j = 1}^{n} E (X_{ben} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

cevabınız.

— Makro
kaynak

Bu sorun, genellikle güç toplamı gösterimi olarak tanımlanan çok daha genel 'anların anları' sorununun özel bir örneğidir. Özellikle, güç toplamı gösterimlerinde:

s_{1} = Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

$E[s_1^2]$

['___ToRaw', çözümün nüfusun ham anları (merkezi anlar veya kümülanlar demek yerine) açısından sunulmasını istediğimiz anlamına gelir. ]

$X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

$\mu_i$ sol

Hepsi tamam.

$\lambda^2$

— Wolfies
kaynak