Karışık modeller için gösterimleri uzlaştırma

Gösterime aşina olduğum gibi:

\begin{aligned} y_{ben j} & = β_{0} + β_{ben} x_{ben j} + u_{j} + e_{ben j} \\ = β_{0 j} + β_{ben} x_{ben j} + e_{ben j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ burada ve

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

\begin{aligned} y_{ben j} & = β_{0} + β_{1} x_{ben j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{ben j} + e_{ben j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{ben j} + e_{ben j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ burada ve

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

rasgele kesişim modeli ve rastgele eğim + rasgele kesişim modeli için.

Ben de "yetişkin kardeşler için karışık model gösterimi" (ağabeyime göre) olduğu söylenen bu matris / vektör gösterimi ile karşılaştım:

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$ burada sabit efektler ve rastgele etkilerdir.

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

Eğer doğru anladıysam, ikinci gösterim, birincisi için, ikincisinin belirli versiyonları olan daha genel bir gösterimdir.

Birincisinin ikincisinden nasıl türetilebileceğini görmek istiyorum.

mixed-model mathematical-statistics

— Joe King
kaynak

Matris notasyonunun bir açıklamasını mı soruyorsunuz? Sormamın nedeni, bu sorunun herhangi bir matematiksel türeve ihtiyaç duymamasıdır: tüm formülleriniz tamamen aynı şeyleri söylüyor ve bunları birbirleriyle ilişkilendirmek sadece matris gösteriminin nasıl çalıştığını anlamak meselesidir.

— whuber

@whuber Matris notasyonunu ve matris cebirini bir dereceye kadar anlıyorum. Ama matris formundan nasıl başlayacağımı ve diğer formlara nasıl ulaşacağımı bilmiyorum. Muhtemelen X ve Z matrisleri hakkında bir şey anlamıyorum, ama sadece birinin bunu heceleyeceğini umuyordum.

— Joe King

@whuber soruyu geliştirmek için yapabileceğim bir şey var mı yoksa cevabı hak etmeyecek kadar basit olduğunu mu söylüyorsun?

— Joe King

@JoeKing: Bence matris notasyonunun tanım gereği matris olmayan notasyonunuza eşdeğer olduğunu söylüyor. Yani, zaten olan (ixj matris çarpı jx1 matris veren ix1 matris ) var . (Sen dönebilirsiniz içine 1 değerini ekleyerek .)

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne

Her iki modelde de rastgele efektler ve sabit efektler vardır. Birincisi rastgele bir kesmeye sahipken ikincisi rastgele bir kesmeye ve rastgele bir eğime sahiptir. Eğer kendimi "anlayabilseydim" soruyu burada sormazdım !!!!

— Joe King

Rastgele eğimli ve rastgele kesişmeli karışık bir model düşünüyoruz. Sadece bir geri çekici olduğu göz önüne alındığında, bu model olarak yazılabilir burada belirtmektedir - cevabın grubunun ve ve gözlemlenmesi

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ ilgili yordayıcı ve hata terimi.

Bu model, matris notasyonunda aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

eşdeğerdir

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

Diyelim ki gruplarımız var, yani ve , gruptaki gözlem sayısını gösterir . Her grup için bölümlenmiş, yukarıdaki formülü şöyle yazabiliriz: $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & ... \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ⋮ \\ ε_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

burada a, grubu için tepki tüm gözlemler içeren matris , ve olan , bu durumda tasarım matrisler ve yine bir olan matrisi. $\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

Onları yazarken, elimizde:

ve $\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

Regresyon katsayısı vektörleri

, $\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

İki model formülasyonun gerçekten eşdeğer olduğunu görmek için, gruplardan herhangi birine bakalım (diyelim ki inci). $j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

$i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ε_{ben j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— Philipp Burckhardt
kaynak

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$