“Rasgele değişken” ile kastedilen nedir?

"Rastgele değişken" derken ne demek istiyorlar?

Rasgele bir değişken, değeri bilinmeyen olaylara bağlı olan bir değişkendir. Bilinmeyen olayları "durum" olarak özetleyebiliriz ve sonra rasgele değişken durumun bir fonksiyonudur.

Örnek:

Diyelim ki üç zar var ( , D 2 D 3 S = ( D 1 , D 2 , D 3$D_{1}$$D_{2}$ , ). Sonra .$D_{3}$$S=(D_{1},D_{2},D_{3})$

1. Bir rastgele değişken , 5 sayısıdır. Bu:$X$

2. Diğer bir rastgele değişken , zar silindirlerinin toplamıdır. Bu:$Y$

Giriş

Yakın tarihli bir yorum düşünülürken, şu ana kadarki tüm cevapların "değişken" gibi tanımlanmamış terimlerin ve "bilinmeyen" gibi belirsiz terimlerin kullanılmasından ya da "işlev" ve "olasılık alanı" gibi teknik matematiksel kavramlara hitap ettiğini fark ettim. Matematiksel olmayan bir kişiye "rastgele değişken" in basit, sezgisel, ancak doğru bir tanımını yapmak isteyenlere ne demeliyiz? Basit bir rastgele olay modelini tanımlayan bazı ön hazırlıklardan sonra, bir satıra sığacak kadar kısa bir tanım yapıyorum. Çünkü biliş merkezlerini tam olarak tatmin etmeyebilir , bundan sonra bunun normal teknik tanımlamaya nasıl genişletileceğini açıklar.

Kutuda biletler

Rastgele bir değişkenin ardındaki fikre yaklaşmanın bir yolu, bir kutudaki bilet modeli rastlantısallığına itiraz etmektir . Bu model, bilet dolu bir kutu ile bir deney veya gözlem yerini alır. Her biletin üzerinde deneyin olası bir sonucu yazılır . (Bir sonuç, "kafalar" veya "kuyruklar" kadar basit olabilir, ancak pratikte, hisse senedi fiyatlarının geçmişi, uzun bir deneyin tam bir kaydı veya bir belgedeki tüm kelimelerin sırası gibi daha karmaşık bir şeydir. .) Tüm olası sonuçlar biletler arasında en az bir kez görünür; bazı sonuçlar birçok bilette görünebilir.

Deneyi gerçekten yapmak yerine, tüm biletleri karıştırmayı ve sadece birini seçmeyi iyice - ama kör bir şekilde - hayal ediyoruz. Gerçek deneyin bu şekilde yapıldığı gibi davranması gerektiğini gösterebilirsek , o zaman potansiyel olarak karmaşık (ve pahalı ve uzun) bir gerçek dünya denemesini basit, sezgisel bir düşünce denemesine düşürdük. (veya "istatistiksel modele "). Bu modelin sağladığı netlik ve basitlik, deneyi analiz etmeyi mümkün kılar.

Bir örnek

Standart örnekler madeni para atmanın ve zar atmanın ve oyun kartlarını çıkarmanın sonuçlarıyla ilgilidir. Bunlar, önemsizlikleri için biraz rahatsız edicidir, açıklamak gerekirse, 2016’daki ABD başkanlık seçimlerinin sonuçları hakkında endişelendiğimizi varsayalım. veya Demokratik (D) - kazanacak. Çünkü (şu anda mevcut olan bilgilerle) sonuç belirsizdir, biletleri bir kutuya koymayı düşünürüz: bazıları üzerlerinde "R" yazarken, diğerlerinde "D" yazmaktadır. Sonuç modelimiz bu kutudan tam bir bilet almaktır.

Eksik bir şey var: Her sonuç için kaç tane bilet olacağını henüz belirlemedik . Aslında, bunu bulmak istatistiklerin temel sorunudur: gözlemlere (ve teoriye dayanarak) kutudaki her bir sonucun göreceli oranları hakkında ne söylenebilir?

(Umarım , kutudaki her bir bilet türünün oranının , her bir biletin gerçek sayısı yerine özelliklerini belirlediği açıktır . Orantılar - her zamanki gibi - her tür biletin bölündüğü şekilde tanımlanır. toplam bilet sayısı: Örneğin, bir "D" bileti ve bir "R" bileti olan bir kutu tam olarak bir milyon "D" bileti ve bir milyon "R" bileti olan bir kutu gibi davranır, çünkü her iki durumda da Tüm biletlerin% 50'si ve dolayısıyla her biri, biletler iyice karıştığında% 50 çekilme şansına sahiptir.)

Modeli nicel yapmak

Ancak bu soruyu burada takip etmeyelim, çünkü rastgele bir değişkeni tanımlama hedefimize yakınız. Modelle ilgili sorun şu ana kadar nicelleştirilememesidir, oysa nicel soruları onunla cevaplayabilmek istiyoruz. Ve benim için önemsiz olanları da kastetmiyorum, ama gerçek, pratik sorular gibi: “eğer şirketim ABD’nin denizaşırı fosil yakıtlarının geliştirilmesine ABD’de bir milyar Euro yatırım yaptıysa, bu seçimin 2016 seçiminin sonucu ne kadar değişecek? ?" Bu durumda model o kadar basittir ki, bu soruya gerçekçi bir cevap almak için yapabileceğimiz bir şey yoktur, ancak ekonomik kadromuza danışmak ve olası iki sonuç hakkındaki görüşlerini almak için gidebiliriz:

1. Demokratlar kazanırsa, yatırım ne kadar değişecek? (Cevabın dolar olduğunu varsayalım .)$d$

2. Cumhuriyetçiler kazanırsa, ne kadar değişecek? (Cevabın olduğunu varsayalım .)$r$

$d$$r$

Bu model yatırım hakkında ek soruları cevaplamamıza yardımcı oluyor. Örneğin , yatırımın değeri konusunda ne kadar belirsiz olmalıyız ? Bu belirsizlik için (basit) matematiksel formüller olmasına rağmen, ne tür bir sonuç ortaya çıktığını ve yayılmasının ölçülmesini görmek için modelimizi tekrar tekrar - belki de binlerce kez kullanarak - makul şekilde doğru bir şekilde tekrarlayabiliriz. Kutu içi bilet modeli bize belirsiz sonuçlar hakkında niceliksel bir sebep vermemizi sağlar.

Rastgele değişkenler

$d$$r$

Bir rasgele değişken bir kutu içinde bilet numaralarını yazmak için herhangi tutarlı bir yoldur.

$X$$Y$$\omega$$X$$\omega$$X(\omega)$$X$$X(\text{D})=d$$X(\text{R}) = r$$X$$X$$X$

$X$

$X$

Sonrasında: ölçülebilirlik hakkında

Rastgele değişkenin tanımına "ölçülebilir" uyarısı eşlik ettiğinde, tanımlayıcının aklında olan şey kutu içi bilet modelinin sonsuz sayıda olası sonucu olan durumlara genelleştirilmesidir. (Teknik olarak, sadece hesaplanamayan sonsuz sonuçlarla veya irrasyonel olasılıkların dahil olduğu yerlerde ve son durumda bile önlenebilir.) Sınırsız sayıda sonuç ile toplamın oranının ne olacağını söylemek zordur . Sonsuz sayıda "D" bileti ve sonsuz sayıda "R" bileti varsa, bunların nispi oranları nedir? Bir sonsuzluğun yalnızca bir başkasıyla bölünmesiyle bulamıyoruz!

Bu durumlarda, oranları belirtmek için farklı bir yola ihtiyacımız var. Bir "ölçülebilir" bilet seti, orantılı olarak tanımlanabilecek kutudaki herhangi bir bilet koleksiyonudur. Bu yapıldığında, “oran” olarak düşündüğümüz sayıya “olasılık” denir. (Her bilet koleksiyonunun bununla ilgili bir olasılık olması gerekmez.)

$X$$X(\omega)$$a$$b$$a$$b$

Gayri resmi olarak, rastgele bir değişken her olası sonuca sayısal bir kod atamanın bir yoludur. *

örnek 1

$\{H,T\}$

$X$$X(H)=1$$X(T)=0$$1$$0$

Örnek 2

Köprüde, bir as 4 yüksek kart puanı, bir kral 3, bir kraliçe 2 ve bir jack 1 değerindedir. Başka bir kart 0 puan değerindedir.

$Y$$Y\left(A♡ \right)=4$$Y\left(J♣ \right)=1$$Y\left(7♠ \right)=0$

$H$$T$$A♠$

* Resmen rastgele bir değişken, her bir sonucu (örnek boşluğundaki) gerçek sayıya eşleyen bir fonksiyondur.

Normal bir değişkenden farklı olarak, rastgele bir değişken, değişmeyen tek bir değerle değiştirilemez. Rastgele değişkenin dağılımı gibi daha ziyade istatistiksel özellikler belirtilebilir. Dağılım, değişkenin verilen bir değeri alma olasılığını sağlayan ya da ortalama ya da standart sapma gibi belirli parametreler verilen bir aralığa denk düşen bir fonksiyondur.

Dağılım, tam sayılar gibi sayılabilir bir kümeden gelen değerleri açıklarsa, rasgele değişkenler ayrık olarak sınıflandırılabilir . Rastgele bir değişken için diğer sınıflandırma süreklidir ve dağılım, gerçek sayılar gibi sayılamayan bir kümedeki değerleri kapsıyorsa kullanılır.

Bana bu hikaye anlatıldı:

Rastgele bir değişken kutsal Roma imparatorluğu ile karşılaştırılabilir: Kutsal Roma İmparatorluğu kutsal değildi, roman değildi ve bir imparatorluk değildi.

Aynı şekilde, bir Rastgele Değişken ne rastgele ne de bir değişken değildir. Bu sadece bir fonksiyondur. (hikaye burada anlatıldı: kaynak ).

Bu, en azından insanların hatırlamasına yardımcı olabilecek açıklamanın bir tuhaf yolu!

Gönderen Vikipedi :

Matematikte (özellikle olasılık teorisi ve istatistik), rastgele bir değişken (veya stokastik değişken) (genel olarak), olasılık alanını ölçülebilir bir alana haritalayan ölçülebilir bir fonksiyondur. Bir olayın olası tüm sonuçlarını gerçek sayılara eşleyen rastgele değişkenler, temel istatistiklerde sıklıkla incelenir ve bilimlerde bilimsel deneylerden elde edilen verilere dayanarak öngörülerde bulunmak için kullanılır. Bilimsel uygulamalara ek olarak, şans oyunlarının ve stokastik olayların analizi için rastgele değişkenler geliştirilmiştir. Rastgele değişkenlerin faydası, olasılıksal soruları cevaplamak için gerekli olan matematiksel özellikleri yakalama yeteneklerinden gelir.

Gönderen cnx.org :

Rastgele değişken, sabit koşullar altında rastgele bir deneyin tüm olası sonuçlarına benzersiz sayısal değerler atayan bir işlevdir. Rastgele değişken, değişken değil, olayları sayılara eşleyen bir işlevdir.

Genellikle X ile gösterilen rastgele bir değişken, sonucun belirsiz olduğu bir değişkendir. Bu değişkenin belirli bir sonucunun gözlemlenmesi gerçekleştirme olarak adlandırılır. Daha somut olarak, olasılık alanını ölçülebilen bir alana, genellikle durum alanı olarak adlandırılan bir fonksiyondur. Rastgele değişkenler ayrık (birkaç farklı değer alabilir) veya sürekli (sonsuz sayıda değer alabilir).

İki zar yuvarlanırken elde edilen toplam rastgele X değişkeni dikkate alın. 2-12 arasındaki değerlerden herhangi birini alabilir (eşit zarfa eşit olasılık verilir) ve zar atılıncaya kadar sonuç belirsizdir.

Matematiksel olmayan üniversite çalışmalarımda rasgele değişkenin, değişkenin olasılıklara götürebileceği değerlerin bir haritası olduğu söylendi. Bu olasılık dağılımını çizmeye izin verdi

Son zamanlarda, matematikçilerin aklındakilerden ne kadar farklı olduğunu anladım. Rastgele değişkenle, basit bir işlevsellik anlamına gelir: X:, → R, örnek alan space ( yani sonuç, bilet veya birey , yukarıda açıklandığı gibi) bir elementi alır ve aralıktaki gerçek bir R sayısına çevirir. -∞, ∞). Yani, rastgele olmadığı ve hiç değişken olmadığı yukarıda açıkça belirtilmiştir. Rasgelelik, ölçüm alanının (Ω, P) bir parçası olarak, olasılık ölçüsü P ile gelir. P örnekleri rastgele değişkene benzer şekilde R ile eşleştirir, ancak bu zaman aralığı [0,1] ile sınırlıdır ve rastgele değişkenin (Ω, P) 'nin (R, P)' ye çevrildiğini söyleyebiliriz, bu nedenle rastgele değişkenin olasılıkla donatıldığını söyleyebiliriz. P: R -> [0,1] 'i ölçün, böylece R'deki her x için, oluşum ihtimalinin ne olduğunu söyleyebilirsiniz.

$\Omega$

İntegral, rastgele değişkenlerin gerçek değerlerine ihtiyaç duymaz.