Doğrusal modeldeki eğimlerin sabit bir değere eşit olup olmadığı nasıl test edilir?

9

Diyelim ki basit bir doğrusal regresyon modelimiz ve sıfır hipotezini genel alternatife karşı test etmek istiyoruz . $Z = aX + bY$ $H_0: a=b=\frac{1}{2}$

Sanırım ve tahminini kullanabilir ve ayrıca etrafında güven aralığı elde etmek için testi uygulayabilir . Bu tamam mı? $\hat{a}$ $SE(\hat{a})$ $Z$ $\frac{1}{2}$

Diğer soru bununla yakından ilgilidir. Bir örnek ve istatistiklerini $\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$ $\chi^2$

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(z_{i} - \frac{x_{i} + y_{i}}{2})^{2}}{\frac{x_{i} + y_{i}}{2}} .

$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$ Bu istatistikler aynı sıfır hipotezini test etmek için kullanılabilir mi?

hypothesis-testing regression

— Lan
kaynak

8

Doğrusal regresyonda varsayım, ve rasgele değişkenler olmadığıdır. Bu nedenle, model $X$ $Y$

Z = a X + b Y + ϵ

$Z = a X + b Y + \epsilon$

cebirsel olarak aynıdır

Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2}) X + (b - \frac{1}{2}) Y + ϵ = α X + β Y + ϵ .

$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$

Burada, ve . hata terimi etkilenmez. Katsayıları sırasıyla ve olarak tahmin ederek bu modeli takın ve hipotezini normal şekilde test edin . $\alpha = a - \frac{1}{2}$ $\beta =b - \frac{1}{2}$ $\epsilon$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\alpha = \beta = 0$

Sorunun sonunda yazılan istatistik, bire resmi benzerliğine rağmen, ki kare şeklinde bir istatistik değildir. Ki-kare istatistiği veri değerlerini değil sayıları içerir ve ortak değişkenleri değil paydasında beklenen değerlere sahip olması gerekir. bir veya daha fazlasının sıfır olması (veya buna yakın) olması, bu formülasyonla ilgili bir şeyin yanlış olduğunu gösteriyor. Bu ikna edici olmasa bile, , ve ölçüm birimlerinin herhangi bir şey olabileceğini gibi), böylece gibi doğrusal bir kombinasyon (genel olarak) anlamsızdır. Hiçbir şey test etmiyor. $\frac{x_i+y_i}{2}$ $Z$ $X$ $Y$ $z_i - (x_i+y_i)/2$

— whuber
kaynak

1

Cevabınız için teşekkürler. Çok faydalıydı. Aslında, sorunun ikinci bölümünün formülasyonunda çok kesin değildim. Xs ve ys'nin aynı birimlerde ölçülen pozitif sayılar olduğunu düşünün. Zs (gözlenen sonuç) bir şekilde "etkileşimi" ölçmektedir, bu anlamda z etkileşimi yoksa zs (x + y) / 2 (beklenen sonuç) olmalıdır. Dolayısıyla benim bakış açımdan, a = b = 1/2 sıfır hipotezi ile regresyon kullanmak ya da Pearson'un chi ^ 2 istatistiklerini kullanarak uyum iyiliğini karşılaştırmak aynıydı. Bu bir anlam ifade ediyor mu? Teşekkürler!

— Lan

1

@ Lanan Wolfgang'ın cevabı, önerdiğiniz testi nasıl yapacağınızı güzel bir şekilde gösteriyor. Bir hipotezi "olağan şekilde" test etmekle neyin kastedildiğine bir örnektir.

— whuber

9

Bu hipotezi tam ve azaltılmış model testiyle test edebilirsiniz. İşte böyle yapıyorsun. İlk olarak, modelini ve kalıntıları bu modelden alın. Kalıntıları düzeltin ve toplayın. Bu, tam model için kare hatanın toplamıdır. Buna . Daha sonra, hesaplamak . Bunlar sıfır hipotezi altındaki artıklarınızdır. Onları kareye alın ve toplayın. Bu, azaltılmış model için kare hatanın toplamıdır. Buna . $Z = aX + bY$ $SSE_f$ $Z - \hat{Z}$ $\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$ $SSE_r$

Şimdi hesapla:

F = , $((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

burada örnek büyüklüğüdür. altında , bu F-istatistiği ve serbestlik derecesine sahip bir F-dağılımını takip eder. $n$ $H_0$ $2$ $n-2$

İşte R'yi kullanan bir örnek:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

P değeri .05'in altındaysa null değerini reddet ( öğeniz gerçekten .05 ise). $\alpha$

Modelinizin bir engel içermemesini gerçekten düşündüğünüzü düşünüyorum. Başka bir deyişle, ile değil, modeliyle gerçekten çalıştığınızı . $Z = aX + bY$ $Z = c + aX + bY$

— Wolfgang
kaynak