Ağırlıklı Varyans, bir kez daha

Tarafsız ağırlıklı varyans zaten burada ve başka yerlerde ele alınmıştı, ancak hala şaşırtıcı miktarda karışıklık var gibi görünüyor. Vikipedi makalesinde olduğu gibi ilk bağlantıda sunulan formüle yönelik bir fikir birliği olduğu anlaşılmaktadır . Bu aynı zamanda R, Mathematica ve GSL tarafından kullanılan formüle benziyor (ancak MATLAB değil). Bununla birlikte, Wikipedia makalesi, ağırlıklı bir varyans uygulaması için büyük bir akıl sağlığı kontrolü gibi görünen aşağıdaki satırı da içerir:

Örneğin, {2,2,4,5,5,5} değerleri aynı dağıtımdan çizilirse, bu kümeye ağırlıksız bir örnek gibi davranabilir veya ağırlıklı örnek olarak {2,4, 5} ile karşılık gelen ağırlıkları {2,1,3} ve aynı sonuçları almalıyız.

Hesaplamalarım orijinal değerlerin varyansı için 2.1667 ve ağırlıklı varyans için 2.9545 değerini vermektedir. Gerçekten onların aynı olmasını beklemeli miyim? Neden ya da neden olmasın?

Evet, her iki örneğin de (ağırlıksız ve ağırlıklı) aynı sonuçları vermesini beklemelisiniz.

Wikipedia makalesinden iki algoritmayı uyguladım.

Bu işe yarıyor:

Her durumunda $x_i$ aynı dağıtım ve tam sayı ağırlıkları çekilir $w_i$ numunede ortaya çıkma sıklığını göstermektedir, daha sonra ağırlıklı nüfus varyans tarafsız tahmin ile elde edilir:

$s^2\ = \frac {1} {V_1 - 1} \sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^2,$

Ancak bu (kesirli ağırlıklar kullanarak) benim için çalışmıyor:

Her bir $x_i$ , $1/w_i$ varyanslı bir Gauss dağılımından çekilirse, ağırlıklı popülasyon varyansının tarafsız tahmincisi şu şekilde verilir:

$s^2\ = \frac {V_1} {V_1^2-V_2} \sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^2$

Hala ikinci denklemin amaçlandığı gibi çalışmadığının nedenlerini araştırıyorum.

/ EDIT: İkinci denklemin düşündüğüm gibi çalışmamasının nedenini buldum: ikinci denklemi yalnızca normal ağırlık veya varyans ("güvenilirlik") ağırlıklarınız varsa kullanabilirsiniz ve eğer tarafsız DEĞİLDİR, çünkü eğer "tekrar" ağırlıklarını kullanın (bir gözlemin kaç kez gözlemlendiğini ve böylece matematik işlemlerinizde tekrarlanması gerektiğini) kullanın, toplam gözlem sayısını sayma yeteneğinizi kaybedersiniz ve böylece bir düzeltme faktörü kullanamazsınız.

Bu, sonuçlarınızdaki ağırlıklı ve ağırlıklı olmayan varyansı kullanarak farkı açıklar: hesaplamanız önyargılıdır.

Bu nedenle, tarafsız ağırlıklı bir varyansa sahip olmak istiyorsanız, sadece "tekrar" ağırlıkları kullanın ve yukarıda gönderdiğim ilk denklemi kullanın. Bu mümkün değilse, yardım edemezsiniz.

Daha fazla bilgi istiyorsanız Wikipedia makalesini de güncelledim: http://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_arithmetic_mean#Weighted_sample_variance

Ve tarafsız ağırlıklı kovaryans hakkında bağlantılı bir makale (aslında aynı varyans Polarizasyon Kimliği ): Ağırlıklı tarafsız örnek kovaryans için doğru denklem