İki bağımsız gama rasgele değişkeninin toplamı

13

Gama dağılımı hakkındaki Wikipedia makalesine göre :

Eğer ve , burada ve bağımsız bir rastgele değişkenler, daha sonra . $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ $X$ $Y$ $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

Ama hiçbir kanıt göremiyorum. Beni kanıtına yönlendiren var mı lütfen?

Düzenleme: Zen sayesinde çok, ve ben de Wikipedia sayfasında karakteristik fonksiyonlar hakkında bir örnek olarak cevap bulundu .

probability pdf gamma-distribution

— Dexter12
kaynak

3

Sezgi: Gama dağılımları, bağımsız Üstel dağılımın toplamı olarak ortaya çıkmaktadır , bu nedenle ve her ikisi de pozitif tamsayı olması koşuluyla , bir Gamma dağılımına sahip olacağı hemen ortaya çıkmaktadır .

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— whuber

15

Kanıt şu şekildedir: (1) Bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının karakteristik fonksiyonunun, bireysel karakteristik fonksiyonlarının ürünü olduğunu unutmayın; (2) Rastgele bir gama değişkeninin karakteristik fonksiyonunu buradan alın ; (3) Basit cebiri yapın.

Bu cebirsel argümanın ötesinde bir sezgi elde etmek için, whuber'ın yorumunu kontrol edin.

Not: OP, bir gama rastgele değişkeninin karakteristik fonksiyonunun nasıl hesaplanacağını sordu. Eğer (bu tedavi, daha sonra Bu durumda, normal bir sabit olarak) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

Şimdi Huber'ın ipucunu kullanın: , ; burada 'ler bağımsız . Bu nedenle, (1) özelliğini kullanarak $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

İpucu: Bunları sonuçlara ve kanıtlara bakarak öğrenmeyeceksiniz: aç kalın, her şeyi hesaplayın, kendi kanıtlarınızı bulmaya çalışın. Başarısız olsanız bile, bir başkasının cevabını takdir etmeniz çok daha yüksek bir seviyede olacaktır. Ve evet, başarısız olmakta sorun yok: kimse bakmıyor! Matematiği öğrenmenin tek yolu, her kavram ve sonuç için yumruk dövüştür.

— Zen
kaynak

Gönderilen ifade açıkça "tüm Xi bağımsız olduğu sürece" belirtmektedir.

— whuber

Yine de elde edemediğim bir şey, karakteristik fonksiyonlara nasıl ulaştık?

— Dexter12

Cevaba ekleyeceğim. Bir göz at.

— Zen

Belki bir karakteristik işlevi için bir referans ekleyebilirsiniz

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

14

$\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— Dilip Sarwate
kaynak

3

(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$

X - Y

$X-Y$

@pikachuchameleon Bu cevabımı gör .

— Dilip Sarwate

3

$a$ $b$ $X$ $Y$ $a$ $b$ $\theta$ $X$ $Y$ vardır

bağımsız
$a+b$ oluşumları

$a+b$ $a+b,\theta$ ) .

Bunların hiçbiri matematiksel bir kanıt değildir, ancak bağlantının kemiklerine bazı etler koyar ve bunu matematiksel bir kanıtta temizlemek istiyorsanız kullanılabilir.

— Svein Olav Nyberg
kaynak