Yüksek derecede doğrusal olmayan fonksiyonun takılması için strateji

Bir biyofizik deneyinin verilerini analiz etmek için, şu anda oldukça doğrusal olmayan bir modelle eğri uydurma yapmaya çalışıyorum. Model işlevi temelde şöyle görünür:

$y = ax + bx^{-1/2}$

Burada özellikle değeri büyük ilgi görüyor.$b$

Bu işlev için bir çizim:

(Model işlevinin, sistemin ayrıntılı bir matematiksel açıklamasına dayandığını ve çok iyi çalıştığını görüyoruz - sadece otomatik uyumlar zor).

Tabii ki, model işlevi problemlidir: Ben şimdiye kadar denedim stratejileri uydurma, çünkü keskin asimptot başarısız , özellikle gürültülü verilerle.$x=0$

Buradaki sorunu anladığım kadarıyla, basit en küçük kareler uydurma (MATLAB'da hem doğrusal hem de doğrusal olmayan regresyonla oynadım; çoğunlukla Levenberg-Marquardt) dikey asimptota çok duyarlıdır, çünkü x'deki küçük hatalar büyük ölçüde güçlendirilmiştir. .

Biri beni bu sorunu çözebilecek uygun bir stratejiye yönlendirebilir mi?

Bazı temel istatistik bilgim var, ama bu hala oldukça sınırlı. Nereden bakmaya başlayacağımı bilseydim öğrenmeye hevesli olurdum :)

Tavsiyen için çok teşekkür ederim!

Düzenle Hatalardan bahsetmeyi unuttuğunuz için özür dileriz. Tek önemli gürültü cinsindendir ve katkı maddesidir.$x$

Düzenle 2 Bu sorunun arka planı hakkında bazı ek bilgiler. Yukarıdaki grafik bir polimerin gerilme davranışını modeller. @Whuber yorumlarda belirtildiği gibi, yukarıdaki gibi bir grafik elde etmek için gerekir.$b \approx -200 a$

İnsanların bu eğriyi bu noktaya kadar nasıl oturttuğuna gelince: insanlar genellikle iyi bir uyum bulana kadar dikey asimptodu kestiler. Bununla birlikte, kesim seçimi hala keyfi olup, takma prosedürünü güvenilir ve tekrarlanamaz hale getirir.

3 ve 4'ü düzenle Sabit grafik.

Bunu manuel olarak sığdırmak için kullanacağımız yöntemler (yani Açıklayıcı Veri Analizi) bu verilerle oldukça iyi çalışabilir.

Parametrelerini olumlu hale getirmek için modeli biraz yeniden parametrelendirmek istiyorum :

$y$$x$$f(y; a,b)$$f(y)$$(a,b)$

$(x_i, y_i)$$x_i$$f(y_i; a,b)$$100$$a=0.0001$$b=0.1$$\sigma^2=4$

$x$$\pm 2$ $5$$6$$x$$a$$b$$\sigma^2$

$a$$\hat{a}$$\hat{b}$$a$$b$$\hat{x}_i$$x_i$$b$$x_i$$(y_i)$$x$$x$ yeterince büyük,

$\hat{a}$$a$$a$

$x$

$b$$\hat{b}$

$x_i$$1/y_i^2$$x_i$$x_i$$y_i$$x_i$$1/y_i^2$$y_i$ kırmızı renkte, en küçük yarısı mavi renkte ve başlangıç ​​noktasında bir çizgi kırmızı noktalara sığar.

$x$$y$$x$$b$$0.096$$4$

Bu noktada, öngörülen değerler şu şekilde güncellenebilir:

Tahminler istikrara kavuşana kadar (bu garanti edilmez) veya küçük değer aralıkları (hala garanti edilemez) arasında dolaşana kadar yineleyin .

$a$$x$$b$$\hat{a} = 0.000196$$0.0001$$\hat{b} = 0.1073$$0.1$). Bu grafik, verileri bir kez daha gösterir; bu veriler (a) gerçek eğri gri renkte (kesikli) ve (b) tahmini eğri kırmızı renkte (katı):

$3.73$$4$

Bu yaklaşımla ilgili bazı sorunlar var:

• Tahminler önyargılıdır. Veri kümesi küçük olduğunda ve nispeten az sayıda değer x eksenine yakın olduğunda sapma belirginleşir. Uyum sistematik olarak biraz düşüktür.

• $y_i$$y_i$

• $a$$b$

kod

Mathematica'da aşağıdakiler yazılmıştır .

estimate[{a_, b_, xHat_}, {x_, y_}] := 
  Module[{n = Length[x], k0, k1, yLarge, xLarge, xHatLarge, ySmall, 
    xSmall, xHatSmall, a1, b1, xHat1, u, fr},
   fr[y_, {a_, b_}] := Root[-b^2 + y^2 #1 - 2 a y #1^2 + a^2 #1^3 &, 1];
   k0 = Floor[1 n/3]; k1 = Ceiling[2 n/3];(* The tuning constants *)
   yLarge = y[[k1 + 1 ;;]]; xLarge = x[[k1 + 1 ;;]]; xHatLarge = xHat[[k1 + 1 ;;]];
   ySmall = y[[;; k0]]; xSmall = x[[;; k0]]; xHatSmall = xHat[[;; k0]];
   a1 = 1/
     Last[LinearModelFit[{yLarge + b/Sqrt[xHatLarge], 
          xLarge}\[Transpose], u, u]["BestFitParameters"]];
   b1 = Sqrt[
     Last[LinearModelFit[{(1 - 2 a1 b  xHatSmall^(3/2)) / ySmall^2, 
          xSmall}\[Transpose], u, u]["BestFitParameters"]]];
   xHat1 = fr[#, {a1, b1}] & /@ y;
   {a1, b1, xHat1}
   ];

xydata = {x,y}$a=b=0$

{a, b, xHat} = NestWhile[estimate[##, data] &, {0, 0, data[[1]]}, 
                Norm[Most[#1] - Most[#2]] >= 0.001 &,  2, 100]

Önemli sorulara bakın @probabilityislogic yayınlandı

$y^* = y\sqrt{x}$$y^*$$x^* = x^{3/2}$$1/x$

$b$

$x$

-

Ek bilgileri dikkate almak için düzenleyin:

$y^* = b + a x^*$

Şimdi hataların x ve katkısı var. Halen bu ölçekte varyansın sabit olup olmadığını bilmiyoruz.

$x^* = y^*/a - b/a = m y^* + c$

$x_o^* = x^* + \eta$$x$

$o$$x_o^*$

$x^*_o = c + m y^* + \epsilon$$\epsilon = -\zeta$$x$$y$

Bunun geliştiğinden emin değilim! Bu tür şeyler için yöntemler olduğuna inanıyorum, ama gerçekten benim alanım değil.

Yorumlarda ters gerilime bakmak isteyebileceğinizden bahsettim, ancak işlevinizin belirli şekli bundan kaçınmayı engelleyebilir.

Hatta bu lineer formda x-hatalarında oldukça sağlam yöntemleri denemede sıkışmış olabilirsiniz.

-

$y$

$x$

Birkaç haftalık deneyden sonra, bu özel durumda farklı bir teknik en iyi sonucu verir: Total En Küçük Kareler uydurma . Her zamanki (doğrusal olmayan) En Küçük Kareler bağlantısının bir çeşididir, ancak eksenlerden sadece biri boyunca (bu gibi oldukça doğrusal olmayan durumlarda sorunlara neden olan) uyum hatalarını ölçmek yerine, her iki ekseni de dikkate alır .

Konu ile ilgili mevcut olan çok sayıda makale, öğretici ve kitap var, ancak doğrusal olmayan durum daha zor. Hatta bazı MATLAB kodları da mevcut.