Çoklu rasgele değişkenlerin ürün varyansı


44

: Bu iki bağımsız değişkenin için yanıtı biliyoruz

Var(XY)=E(X2Y2)(E(XY))2=Var(X)Var(Y)+Var(X)(E(Y))2+Var(Y)(E(X))2

Bununla birlikte, ikiden fazla değişkenli, ürününü alırsak , cevap her değişkenin varyansları ve beklenen değerleri açısından ne olur?Var(X1X2Xn)


5
Çünkü (bütün varsayarak rastgele değişken ve bir X i bağımsızdır) o bağımsızdır , X , n , cevap endüktif şekilde elde edilir: yeni bir şey gereklidir. Bu çok gizemli görünse de, teknik hesap makinesine iki sayı ekleyebildiğinizden , aynı hesap makinesine n sayı ekleyebildiğinize , tekrar tekrar ekleyerek sıralamaya başlamanızdan farklı değildir. X1X2Xn1XiXnn
whuber

3
Görüntülenen denkleminizin bir kanıtını yazabilir misiniz ? Size cov ( X , Y ) ile ilgili bazı terimler vermesi gereken terimine ne olduğunu öğrenmek istiyorum . (E[XY])2cov(X,Y)
Dilip Sarwate 19.03

5
@DilipSarwate, bu sorunun kesinlikle ve Y'nin bağımsız olduğunu varsaydığından şüpheleniyorum . Her iki X , Y ilişkisiz ve X 2 , Y 2 ilişkisiz olduğunda OP'nin formülü doğrudur . İlgili soruya cevabımı burada görün . XYX,YX2,Y2
Makro

5
@ Makro Topladığınız noktaların farkındayım. OP'yi kendisi için anlaması ve / veya kendisi için anlamaya çalıştığım şey, bağımsız rastgele değişkenler için olduğu gibi, nin E [ X 2 Y 2 ] = E [ X 2 ]' ye basitleştirdiği gibi. E [ Y 2 ] = ( σ 2 X + μ 2 X ) ( σ 2 Y + μ 2 YE[X2Y2]E [ ( X 1X n ) 2 ] , E [ ( X 1X n ) 2 ] = E [ X 2 1 ] E [ X 2 n ] = n i = 1 ( σ 2 X i + μ 2 X i )
E[X2Y2]=E[X2]E[Y2]=(σX2+μX2)(σY2+μY2),
E[(X1Xn)2]
E[(X1Xn)2]=E[X12]E[Xn2]=i=1n(σXi2+μXi2)
bence sonuca ulaşmanın doğrudan bir yolu, whuber'in belirttiği endüktif yöntemden daha fazla.
Dilip Sarwate

@DilipSarwate, güzel. Bunu bir cevap olarak göndermeni öneririm, böylece onu kaldırabilirim!
Makro

Yanıtlar:


38

X1,X2,,Xn

var(X1Xn)=E[(X1Xn)2](E[X1Xn])2=E[X12Xn2](E[(X1]E[Xn])2=E[X12]E[Xn2](E[X1])2(E[Xn])2=i=1n(var(Xi)+(E[Xi])2)i=1n(E[Xi])2
n=2n=2X1X2X1X2X12X22n3

çok teşekkürler! Gerçekten onu takdir ederim. Evet, soru bağımsız rastgele değişkenler içindi.
damla

X1=X2==Xn=X

Soruyu yeni bir sayfaya gönderdim. Çok teşekkürler! stats.stackexchange.com/questions/53380/…
damla

n

3
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.