Gauss karışımı olarak Student t

Öğrenci t-dağılımını $k > 0$ serbestlik derecesi ile kullanma, yer parametresi $l$ ve yoğunluk parametresi $s$ yoğunluğu olan

$$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$$

Öğrenci $t$ dağılımının, Gauss dağılımlarının bir karışımı olarak $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ , ' nin bırakılması $\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$ve eklem yoğunluğunun birleştirilmesiyle marjinal yoğunluğu elde etmek için ? işlevleri olarak ortaya çıkan dağılımının parametreleri nelerdir ?f ( x | μ ) t μ , α , $f(x,\tau|\mu)$$f(x|\mu)$$t$$\mu,\alpha,\beta$

Eklem şartlı yoğunluğunu Gamma dağılımına entegre ederek analizde kayboldum.

Normal dağılımın PDF'si

$$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$$

fakat cinsinden$\tau = 1/\sigma^2$

$$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$$

Gama dağılımının PDF'si

$$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$$

Bu nedenle, kolay cebir ile hafifçe sadeleştirilmiş ürünleri,

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$$

İç kısmı açık biçimde ve τ = 0 - τ = ∞ aralığına entegre edildiğinde onu bir Gama fonksiyonunun bir katı yapar . Bu nedenle bu integral hemen (bir Gamma dağılımının integralini bilerek elde edilir birlikçe olduğunu bilerek elde edilir), marjinal dağılımı verir.$\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$$\tau=0$$\tau=\infty$

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$$

Öngörülen kalıpla eşleşen çalışılıyor dağılımı gösterdiği , söz konusu hata var: Öğrenci t dağılımı için PDF aslında orantılı olduğunu$t$

$$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$$

(gücü olan 2 değil, 1 ). Terimlerin eşleştirilmesi k = 2 α , l = μ ve s = 1 / $(x-l)/s$$2$$1$$k = 2 \alpha$$l=\mu$ .$s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

---

Bu türev için Calculus'a gerek olmadığına dikkat edin: her şey Normal ve Gamma PDF'lerinin formüllerine bakmak, ürünler ve güçler içeren önemsiz cebirsel manipülasyonlar yapmak ve cebirsel ifadelerde (bu sırayla) eşleşen kalıpları yapmaktan ibaretti.

$t$$k$$Y$$Y$$X$$t(k)$$X$$\sqrt Y$$\Phi$,where $Y$~$IG(k/2,k/2)$,$\Phi$ is standard normal rv. I hope this could help you in some sense.

To simplify we assume mean $0$. Using representation, we show the result for integer degrees of freedom.

$$\sqrt{1/\tau} X =Y$$ is equivalent to a Gaussian mixture with that prior: conditioned on $\tau$, $Y$ is Gaussian with precision $\tau$, and the prior $\tau$ is as desired. Then it remains to show that $\sqrt{1/\tau} X$ is a t-distribution. We can write $$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$$ using a well-known result about gammas and Chi-squares (decompose a gamma as a sum of exponentials and combine the exponentials to normals to Chi squares) This in turn implies that $$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$$ $$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$$ which is a scaled t with $k=2\alpha$ and $s=1/\sqrt{\alpha \beta}$ by variance of t. We can recenter our representation at $\mu$ and $l$ would follow.