Değiştirme ile çizim yaparken beklenen kopya sayısı (üç kopya vb.)

Aşağıdaki sorunum var:

100 benzersiz ürünüm var (n) ve bunların 43 (m) 'sini teker teker seçiyorum (yedekli).

Beklenen benzersiz sayısı (sadece bir kez, k = 1), çiftler (tam olarak iki kez k = 2 seçildi), tripples (tam olarak k = 3), dörtlü vb.

En az bir çifte (doğum günü paradoksu) olma olasılığı konusunda çok sayıda sonuç bulabildim, ancak popülasyonda beklenen çift sayısı üzerinde değil.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
kaynak

Bir Monte Carlo tahmini sizin için yararlı olabilir mi, ya da cevaba kapalı bir biçimde mi ihtiyacınız var?

— David J. Harris

Kapalı form formülünü tercih ederim, böylece n, m ve k'nin farklı değerlerine kolayca uygulayabilirim.

— Kaitlyn K

iterm seçilecektir kat. Buradan, istediğiniz tüm miktarları bulabilirsiniz, çünkü, örneğin, Örneğin, beklenen çift sayısı $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

N * dbinom (k, m, 1 / n) komutuyla R'deki sayısal değeri alabilirsiniz.

— Stefan Wager
kaynak

Bu formül ak = 0 veya 1 için kullanılabilir mi?

— Kaitlyn K

Evet yapabilir. K = 0 ile, onu "seçilen m arasında kaç nokta görünmeyecek" olarak yorumlayabilirsiniz.

— Stefan Wager

Ancak bu olaylar bağımsız değildir. Örneğin, öğe 1 kez m görüntülendiğinde, başka hiçbir öğe görünemez. P'leri toplayamazsınız.

— asterix314